Кафедра высшей алгебры

Лектор Гордиенко Алексей Сергеевич

Годовой (но можно сдавать и полгода) спецкурс для студентов 2-6 курса, магистрантов и аспирантов.

понедельник, 18:30-20:05, ауд. 14-08 (главное здание МГУ), первая лекция весеннего семестра 10 февраля 2025 года.

Экзамен по задачам осеннего семестра состоится 16 декабря вместо последней лекции.

Задачи осеннего семестра

Решённые задачи нужно будет принести в отдельной тонкой тетради. На экзамене будут заданы задачи и вопросы на понимание по программе ниже. Число вопросов и задач будет зависеть от того, насколько много задач вам удастся сделать дома из списка выше, и того, насколько часто я вас видел на лекциях. На экзамене ничем нельзя будет пользоваться, кроме тетради с решёнными задачами.

Аннотация курса. Истоки гомологической алгебры восходят к работам Б.Римана, Э.Бетти и А. Пуанкаре второй половины XIX века. Гомологии дают алгебраическую картину топологических пространств, сопоставляя каждому пространству семейство абелевых групп (ко)гомологий, а каждому непрерывному отображению - гомоморфизмы между соответствующими группами. В 1940-х годах с появлением работ С.Маклейна, С.Эйленберга, а также Х.Хопфа, Г.Хохшильда, Д.К. Фаддева и других началось бурное применение методов гомологической алгебры в теории групп, колец, алгебр Ли, а с начала 1950-х годов - и в алгебраической геометрии и теории Галуа.

В спецкурсе планируется рассмотреть следующие темы: проективные и инъективные модули, производные функторы, функторы Tor и Ext, когомологии групп, Хохшильда и алгебр Ли, расширения групп, теоремы Веддербёрна-Мальцева и Леви, спектральные последовательности, сиплициальные методы, комонадические (котроечные) гомологии и (если останется время) производные категории.

Благодарности: чтение спецкурса в осеннем семестре поддержано фондом БАЗИС.

1) 09.09.2024. Содержание курса. Хаусдорфовы топологические пространства. Гомотопные отображения. Гомотопическая эквивалентность топологических пространств. Приклеивание клеток по отображениям. Клеточные комплексы (CW-комплексы). Примеры: сферы, тор. Степень отображения (нестрого). Цепной комплекс клеточного комплекса. Клеточные гомологии. Примеры вычисления: сферы, тор.

2) 16.09.2024. Категории и функторы. Двойственная категория. Hom-функторы. Клеточные отображения. Клеточные когомологии. Клеточные гомологии с коэффициентами в произвольной абелевой группе. (Тензорное произведение определим на следующей лекции.)

Упражнение. Вычислить гомологии и когомологии двумерной вещественной проективной плоскости с коэффициентами в произвольной абелевой группе.

3) 23.09.2024. Левые и правые модули над кольцами. Свободные модули. Тензорное произведение модулей над ассоциативным необязательно коммутативным кольцом с 1.

4) 30.09.2024. Ab-категории. (Ко)пределы. (Ко)произведения. (Ко)уравнители. Универсальный притягивающий и отталкивающий объекты. Нулевой объект. (Ко)ядра. Моно- и эпиморфизмы. Абелевы категории. Точные последовательности. Короткая точная последовательность. Функторы, точные слева и справа.

5) 07.10.2024. Теорема Фрейда - Митчелла (без доказательства). Естественные преобразования функторов. Сопряжённые функторы. Свободно-забывающее сопряжение для модулей. Сопряжённость функторов ⊗ и Hom. Функтор Hom точен слева, а функтор ⊗ - точен справа.

Упражнение. Пусть A - абелева группа, тогда A ⊗ Z_m изоморфно A/mA.

Проективные и инъективные объекты. Определение через точность hom-функторов. Проективный модуль - прямое слагаемое свободного.

6) 14.10.2024. Прямая сумма (=копроизведение) объектов проективна, если и только если каждая компонента проективна.

Упражнение. Построить несвободный проективный модуль на кольцом квадратных матриц n x n над полем.

Упражнение. Доказать, что функтор Hom точен слева, а функтор ⊗ точен справа, не пользуясь понятием сопряженного функтора.

Проективные модули над кольцом главных идеалов свободны. (Доказательство см. Hilton P.J., Stammball, U. Course in homological algebra, Theorem 5.1.) Критерий Бэра инъективности модуля. Инъективные модули над кольцом целых чисел.

Упражнение. Инъективный модуль выделяется прямым слагаемым в любом модуле, его содержащем.

Образ инъективного объекта под действием функтора, правого сопряженного к точному. В категории модулей над кольцом достаточно проективных объектов.

7) 21.10.2024. Лемма Цорна, теорема Цермело. В категории модулей над кольцом достаточно инъективных объектов. Производные функторы. Функторы Tor и Ext. (Ко)гомологии групп.

8) 28.10.2024. Комплексы в абелевых категориях и их гомологии. (Ко)пределы, эпи- и мономорфизмы в категории комплексов. Цепные гомотопии. Теорема сравнения. Корректность определения производных функторов.

9) 06.11.2024. Лемма о змее (доказали в курсе «Теория категорий»). Длинная точная последовательность объектов гомологий для короткой точной последовательности комплексов. Расщепляющаяся короткая точная последовательность в абелевой категории. Лемма о подкове. Длинная точная последовательность для левых производных функторов.

10) 11.11.2024. Конус цепного морфизма. Критерий того, что цепной морфизм - квазиизоморфизм. Двойные комплексы. Лемма об ациклической сборке (начали доказывать).

11) 13.11.2024. Лемма об ациклической сборке (завершение доказательства). Плоские модули. Проективные модули - плоские. Балансировка функтора Tor.

12) 18.11.2024. Балансировка функтора Ext. Ациклические резольвенты.

13) 20.11.2024. Фильтрованные категории. Копредел по направленности (=прямой, индуктивный предел). Пример: система подпространств в векторном пространстве. Аксиомы А. Гротендика (AB3), (AB4) и (AB5). Категория модулей удовлетворяет аксиомам (AB3), (AB3)*, (AB4), (AB4)* и (AB5). Фильтрованный копредел плоских модулей плоский. Tor и фильтрованные копределы (начали доказывать).

14) 25.11.2024. Tor и фильтрованные копределы (окончание доказательства). Ext и (ко)произведения.

Упражнение. Пусть M - модуль над коммутативным кольцом R с 1, тогда M ⊗_R R/Rr изоморфно M/rM.

Примеры вычисления Tor и Ext.

15) 27.11.2024. Характеризация проективных и инъективных объектов в терминах Ext. (Ко)универсальные квадраты (= (ко)декартовы квадраты, пуллбэки и пушауты). Группы Ext Йонеды. Ext и расширения модулей. (Построили бифунктор YExt и ввели операции на множествах YExt.)

(продолжение следует)

Видеозаписи лекций на сайте teach-in (осенний семестр)

Видеозаписи лекций на YouTube-канале teach-in (осенний семестр)

Литература:

1. Weibel, C. Introduction to homological algebra. Опечатки.
2. Картан А., Эйленберг С. Гомологическая алгебра.
3. Маклейн С. Гомология.
4. Бурбаки Н. Алгебра. Глава X. Гомологическая алгебра.
5. Маклейн С. Категории для работающего математика.
6. Гротендик А. О некоторых вопросах гомологической алгебры. М.: ИЛ, 1961. (Перевод статьи Grothendieck, A. Sur quelques points d'algèbre homologique. Tohoku Math. J. (second series), 9:2-3 (1957), 119-221.)
7. Гельфанд С.И., Манин Ю.И. Методы гомологической алгебры: Т.1. Введение в теорию когомологий и производные категории.
8. Popescu, N. Abelian categories with applications to rings and modules.
9. Букур И., Деляну А. Введение в теорию категорий и функторов.
10. Годеман Р. Алгебраическая топология и теория пучков.

Книги по алгебраической топологии:

1. Вик Дж.У. Теория гомологий. Введение в алгебраическую топологию.
2. Свитцер Р.М. Алгебраическая топология - гомотопии и гомологии.
3. Спеньер Э. Алгебраическая топология.
4. Дубровин Б.А., Новиков С.П., Фоменко А.Т. Современная геометрия: методы и приложения. Т.2: Геометрия и топология многообразий. Т.3: Теория гомологий.