Кафедра высшей алгебры

Вы посетили: • onlinemeeting


Различия

Показаны различия между двумя версиями страницы.

Ссылка на это сравнение

Предыдущая версия справа и слева Предыдущая версия
Следующая версия 		Предыдущая версия
s_k_homological_algebra_2024_2025 [31.01.2025 17:53]
gordienko 		s_k_homological_algebra_2024_2025 [16.04.2025 19:25] (текущий)
gordienko
Строка 2: Строка 2:
 **Лектор [[:staff:gordienko|Гордиенко Алексей Сергеевич]]** **Лектор [[:staff:gordienko|Гордиенко Алексей Сергеевич]]**
  
-(Название осеннего семестра //Гомологическая алгебра (введение)//, весеннего семестра - //Гомологическая алгебра (основные конструкции)//.)+Название осеннего семестра **Гомологическая алгебра (введение)**, весеннего семестра - **Гомологическая алгебра (основные конструкции)**.
  
 Годовой (но можно сдавать и полгода) спецкурс для студентов 2-6 курса, магистрантов и аспирантов. Годовой (но можно сдавать и полгода) спецкурс для студентов 2-6 курса, магистрантов и аспирантов.
  
-**понедельник**, **18:30-20:05**, ауд. **14-08** (главное здание МГУ), первая лекция весеннего семестра **10 февраля 2025 года**.+**понедельник**, **18:30-20:05**, ауд. **<color #FF0000>14-14</color>** <del>14-08</del>  (главное здание МГУ), первая лекция весеннего семестра **10 февраля 2025 года**.
  
-**среда**, **16:45-18:20**, ауд. станет известна позднее, в следующие даты: **9** и **23 апреля**.+**среда**, **16:45-18:20**, ауд. **13-02** (главное здание МГУ), в следующие даты: **9** и **23 апреля**.
  
  
Строка 14: Строка 14:
  
 **[[https://disk.yandex.ru/i/zsaTfmWAa1wokg|Задачи осеннего семестра]]** **[[https://disk.yandex.ru/i/zsaTfmWAa1wokg|Задачи осеннего семестра]]**
 +
 +**[[https://disk.yandex.ru/i/jP8RUlJrr49BVA|Задачи весеннего семестра (в процессе составления)]]**
  
 Решённые задачи нужно будет принести в **отдельной** тонкой тетради. На экзамене будут заданы задачи и вопросы на понимание по программе ниже. Число вопросов и задач будет зависеть от того, насколько много задач вам удастся сделать дома из списка выше, и того, насколько часто я вас видел на лекциях. На экзамене ничем нельзя будет пользоваться, кроме тетради с решёнными задачами. Решённые задачи нужно будет принести в **отдельной** тонкой тетради. На экзамене будут заданы задачи и вопросы на понимание по программе ниже. Число вопросов и задач будет зависеть от того, насколько много задач вам удастся сделать дома из списка выше, и того, насколько часто я вас видел на лекциях. На экзамене ничем нельзя будет пользоваться, кроме тетради с решёнными задачами.
Строка 87: Строка 89:
 **16.12.2024.** Экзамен по задачам осеннего семестра. **16.12.2024.** Экзамен по задачам осеннего семестра.
  
 +18) **10.02.2025.** (Ко)гомологии групп. Бар-резольвента и нормализованная бар-резольвента. Интерпретация младших групп когомологий.
  
 +19) **17.02.2025.** Расширения групп. Расщепляющиеся расширения. Эквивалентные расширения.
 +
 +__Упражнение.__ Доказать короткую лемму о пяти гомоморфизмах для категории групп.
 +
 +20) **24.02.2025.** Препятствия для расширений. Классификация расширений с заданным абстрактным ядром.
 +
 +21) **03.03.2025.** Независимость рассуждений от выбора \phi. Окончание классификации расширений с заданным абстрактным ядром.
 +
 +__Упражнение.__ Для произвольных абелевых групп построить вложение Ext^1_Z(C,A) -> H^2(C;A), выяснив, какой коцикл соответствует сумме Бэра двух абелевых расширений группы C при помощи группы A.
 +
 +Градуированные алгебры. Связные алгебры. Классификация связных градуированных тел.
 +
 +__Упражнение.__ Доказать, что скрученная групповая алгебра, построенная по 2-коцепи \sigma, будет ассоциативной алгеброй с единицей x_1, если и только если \sigma - нормализованный 2-коцикл.
 +
 +22) **10.03.2025.** Гомологии групп размерности 0 и 1. Сдвиг размерности. Коиндуцированные модули. (Ко)гомологии циклических групп.
 +
 +__Упражнение.__ Вычислить (ко)гомологии конечной циклической группы с произвольными коэффициентами.
 +
 +__Упражнение.__ Показать, что n-е (ко)гомологии свободной группы с любыми коэффициентами равны 0 при n>= 2. Вычислить 0-е и 1-е (ко)гомологии свободной группы с (тривиальными) целыми коэффициентами.
 +
 + 23) **17.03.2025.** Спектральные последовательности. Морфизм спектральных последовательностей. Лемма об отображении. Сходимость спектральной последовательности. Теорема сравнения.
 +
 +24) **24.03.2025.** Ограниченность спектральной последовательности. Спектральная последовательность фильтрованного комплекса. Классическая теорема сходимости. Спектральная последовательность двойного комплекса (начало). 
 +
 +25) **31.03.2025.** Спектральная последовательность двойного комплекса (окончание).
 +
 +__Упражнение.__ Докажите лемму 3x3, превратив соответствующую диаграмму в двойной комплекс и рассмотрев его спектральную последовательность.
 +
 +__Упражнение.__  Пусть 0 -> A -> B -> C -> 0 - точная последовательность комплексов. Поменяв, где необходимо, знаки у дифференциалов, превратите 0 <- B <- A <- 0 в двойной комплекс и, рассмотрев его спектральную последовательность, получите длинную точную последовательность групп гомологий.
 +
 +Точная последовательность младших членов спектральной последовательности. Альтернативное доказательство балансировки функторов Tor и Ext. Резольвента Картана-Эйленберга комплекса (начало).
 +
 +26) **07.04.2025.** Резольвента Картана-Эйленберга комплекса (окончание). Спектральная последовательность Гротендика. Спектральная последовательность Линдона-Хохшильда-Серра (начало).
 +
 +27) **09.04.2025.** Спектральная последовательность Линдона-Хохшильда-Серра (окончание).
 +Формула Хопфа (начало).
  
 (продолжение следует) (продолжение следует)
Строка 94: Строка 133:
  
 **[[https://www.youtube.com/playlist?list=PLcsjsqLLSfNDXfZjzRa1HmMdpZtawYqvf|Видеозаписи лекций на YouTube-канале teach-in (осенний семестр)]]** **[[https://www.youtube.com/playlist?list=PLcsjsqLLSfNDXfZjzRa1HmMdpZtawYqvf|Видеозаписи лекций на YouTube-канале teach-in (осенний семестр)]]**
 +
 +**[[https://rutube.ru/plst/736004/|Видеозаписи лекций на RuTube-канале teach-in (осенний семестр)]]**
 +
 +**[[https://teach-in.ru/course/homological-algebra-gordienko-p2|Видеозаписи лекций на сайте teach-in (весенний семестр)]]**
 +
 +**[[https://www.youtube.com/playlist?list=PLcsjsqLLSfNBGZJngk6bDrmPxerJt2_eN|Видеозаписи лекций на YouTube-канале teach-in (весенний семестр)]]**
  
 __Литература:__ __Литература:__
Строка 102: Строка 147:
   -   Маклейн С. Категории для работающего математика.   -   Маклейн С. Категории для работающего математика.
   - Гротендик А. О некоторых вопросах гомологической алгебры. М.: ИЛ, 1961. (Перевод статьи Grothendieck, A. Sur quelques points d'algèbre homologique. Tohoku Math. J. (second series), **9**:2-3 (1957), 119-221.)   - Гротендик А. О некоторых вопросах гомологической алгебры. М.: ИЛ, 1961. (Перевод статьи Grothendieck, A. Sur quelques points d'algèbre homologique. Tohoku Math. J. (second series), **9**:2-3 (1957), 119-221.)
-  - Гельфанд С.И., Манин Ю.И. Методы гомологической алгебры: Т.1. Введение в теорию когомологий и производные категории.+  - Кузьмин Ю.В. Гомологическая теория групп. //Advanced Series in Mathematics and Mechanics// **1**. М.: Факториал Пресс, 2006.  
 +  -  Brown, R., Ellis, G.J. Hopf formulae for the higher homology of a group. //Bull. Lond. Math. Soc.//, **20**:2 (1988), 124–128. 
 +  -   Borceux, F., Janelidze, G. Galois Theories. //Cambridge Stud. Adv. Math.// **72**, Cambridge Univ. Press, 2001. 
 +  -   Everaert, T., Gran, M., Van der Linden, V. Higher Hopf formulae for homology via Galois Theory, //Adv. Math.//, **217**:5 (2008), 2231–2267. 
 +  -   Barr, M., Beck, J. Acyclic models and triples, in: Proceedings of the Conference on Categorical Algebra (La Jolla), Springer Verlag, 1966, 336 - 343. 
 +  -   Barr, M., Beck, J. Homology and standard constructions, in: Seminar on Triples and Categorical Homology Theory, ETH, Zürich, 1966/67,  //Lecture Notes in Math.// **80**, Springer, 1969, 245–335. 
 +  -   Rodelo, D., Van der Linden, T. Higher central extensions and cohomology.  //Adv. Math.//, **287** (2016), 31–108.
   -   Popescu, N. Abelian categories with applications to rings and modules.   -   Popescu, N. Abelian categories with applications to rings and modules.
   -   Букур И., Деляну А. Введение в теорию категорий и функторов.   -   Букур И., Деляну А. Введение в теорию категорий и функторов.
   -   Годеман Р. Алгебраическая топология и теория пучков.   -   Годеман Р. Алгебраическая топология и теория пучков.
 +  -  Гельфанд С.И., Манин Ю.И. Методы гомологической алгебры: Т.1. Введение в теорию когомологий и производные категории.
  
 __Книги по алгебраической топологии:__ __Книги по алгебраической топологии:__