Различия

Показаны различия между двумя версиями страницы.

--- s_k_homological_algebra_2024_2025 [08.04.2025 16:43]
127.0.0.1 внешнее изменение
+++ s_k_homological_algebra_2024_2025 [20.05.2025 13:32] (текущий)
gordienko
@@ Строка 11: / Строка 11: @@
-Экзамен по задачам весеннего семестра состоится **26 мая** вместо последней лекции.
+/* Экзамен по задачам весеннего семестра состоится **26 мая** вместо последней лекции.*/
 **[[https://disk.yandex.ru/i/zsaTfmWAa1wokg|Задачи осеннего семестра]]**
-**[[https://disk.yandex.ru/i/jP8RUlJrr49BVA|Задачи весеннего семестра (в процессе составления)]]**
+**[[https://disk.yandex.ru/i/jP8RUlJrr49BVA|Задачи весеннего семестра]]**
 Решённые задачи нужно будет принести в **отдельной** тонкой тетради. На экзамене будут заданы задачи и вопросы на понимание по программе ниже. Число вопросов и задач будет зависеть от того, насколько много задач вам удастся сделать дома из списка выше, и того, насколько часто я вас видел на лекциях. На экзамене ничем нельзя будет пользоваться, кроме тетради с решёнными задачами.
@@ Строка 111: / Строка 111: @@
 __Упражнение.__ Показать, что n-е (ко)гомологии свободной группы с любыми коэффициентами равны 0 при n>= 2. Вычислить 0-е и 1-е (ко)гомологии свободной группы с (тривиальными) целыми коэффициентами.
-(продолжение следует)
+) **17.03.2025.** Спектральные последовательности. Морфизм спектральных последовательностей. Лемма об отображении. Сходимость спектральной последовательности. Теорема сравнения.
+) **24.03.2025.** Ограниченность спектральной последовательности. Спектральная последовательность фильтрованного комплекса. Классическая теорема сходимости. Спектральная последовательность двойного комплекса (начало).
+) **31.03.2025.** Спектральная последовательность двойного комплекса (окончание).
+__Упражнение.__ Докажите лемму 3x3, превратив соответствующую диаграмму в двойной комплекс и рассмотрев его спектральную последовательность.
+__Упражнение.__  Пусть 0 -> A -> B -> C -> 0 - точная последовательность комплексов. Поменяв, где необходимо, знаки у дифференциалов, превратите 0 <- B <- A <- 0 в двойной комплекс и, рассмотрев его спектральную последовательность, получите длинную точную последовательность групп гомологий.
+Точная последовательность младших членов спектральной последовательности. Альтернативное доказательство балансировки функторов Tor и Ext. Резольвента Картана-Эйленберга комплекса (начало).
+) **07.04.2025.** Резольвента Картана-Эйленберга комплекса (окончание). Спектральная последовательность Гротендика. Спектральная последовательность Линдона-Хохшильда-Серра (начало).
+) **09.04.2025.** Спектральная последовательность Линдона-Хохшильда-Серра (окончание).
+Формула Хопфа (начало).
+) **14.04.2025.** Формула Хопфа (окончание). Универсальные центральные расширения (начало).
+__Упражнение.__ Пусть G - совершенная группа, т.е. G = [G, G], а A - абелева группа. Покажите, что неэквивалентные центральные расширения 0 → A → B → G → 0 описываются элементами группы Hom(H_2 (G; Z); A).
+__Упражнение.__ Пусть 0 → A → B → G → 0 — некоторое центральное расширение, в котором
+группы B и G совершенны. Покажите, что существует точная последовательность
+H_2 (B; Z) → H_2 (G; Z) → A → 0.
+) **21.04.2025.** Универсальные центральные расширения (окончание). Симплициальная категория (в т.ч. пополненная). (Ко)симплициальные объекты. Операторы взятия (ко)грани и (ко)вырождения. (Ко)симплициальные соотношения. Нормальная форма морфизма в симплициальной категории. Задание (ко)симплициальных объектов.
+__Упражнение.__ Доказать косимплициальные соотношения в пополненной симплициальной категории.
+) **23.04.2025.** Действие факторгруппы на гомологиях нормальной подгруппы (забыли рассказать раньше).  Сингулярные (ко)гомологии топологических пространств. Алгебраические структуры произвольной сигнатуры.
+Абсолютно свободные алгебраические структуры.
+ Многообразия алгебраических структур.
+) **28.04.2025.** Относительно свободные алгебраические структуры.
+Монады и комонады. Алгебры над монадами. Симплициальные объекты, отвечающие комонадам.
+) **05.05.2025.** Комонадические (ко)гомологии. Абелевы группы в категориях.
+__Упражнение.__ Покажите, что существует биекция между структурами абелевой группы на объекте a в категории с произведениями и поднятиями функтора Hom(-, a) в категорию абелевых групп.
+) **12.05.2025.** Модули Бека.
+__Упражнение.__ Как устроены модули Бека в категории модулей над ассоциативным кольцом с 1?
+__Упражнение.__ Вычислите когомологии Барра - Бека произвольного модуля над ассоциативной алгеброй R с 1 над полем с коэффициентами в произвольном модуле Бека в категории R-модулей.
+__Упражнение.__ Как устроены модули Бека в категории алгебр Ли над полем?
+Когомологии Барра - Бека с коэффициентами в модуле Бека.
+) **19.05.2025.** Теорема Барра - Бека об ациклических моделях. Совпадение комонадических и обычных когомологий групп (проверка условий оставлена в качестве упражнения).
+Темы, которые мы рассмотреть **не успели**. Комплекс Мура. Теорема Маклейна о нормализации. Соответствие Дольда - Кана. Отображение Александера - Уитни. Теорема Эйленберга - Зильбера.
 **[[https://teach-in.ru/course/homological-algebra-gordienko|Видеозаписи лекций на сайте teach-in (осенний семестр)]]**
@@ Строка 130: / Строка 184: @@
   -   Маклейн С. Категории для работающего математика.
   - Гротендик А. О некоторых вопросах гомологической алгебры. М.: ИЛ, 1961. (Перевод статьи Grothendieck, A. Sur quelques points d'algèbre homologique. Tohoku Math. J. (second series), **9**:2-3 (1957), 119-221.)
-  - Гельфанд С.И., Манин Ю.И. Методы гомологической алгебры: Т.1. Введение в теорию когомологий и производные категории.
+  - Кузьмин Ю.В. Гомологическая теория групп. //Advanced Series in Mathematics and Mechanics// **1**. М.: Факториал Пресс, 2006.
+  -  Brown, R., Ellis, G.J. Hopf formulae for the higher homology of a group. //Bull. Lond. Math. Soc.//, **20**:2 (1988), 124–128.
+  -   Borceux, F., Janelidze, G. Galois Theories. //Cambridge Stud. Adv. Math.// **72**, Cambridge Univ. Press, 2001.
+  -   Everaert, T., Gran, M., Van der Linden, V. Higher Hopf formulae for homology via Galois Theory, //Adv. Math.//, **217**:5 (2008), 2231–2267.
+  -   Barr, M., Beck, J. Acyclic models and triples, in: Proceedings of the Conference on Categorical Algebra (La Jolla), Springer Verlag, 1966, 336 - 343.
+  -   Barr, M., Beck, J. Homology and standard constructions, in: Seminar on Triples and Categorical Homology Theory, ETH, Zürich, 1966/67,  //Lecture Notes in Math.// **80**, Springer, 1969, 245–335.
+  -   Rodelo, D., Van der Linden, T. Higher central extensions and cohomology.  //Adv. Math.//, **287** (2016), 31–108.
   -   Popescu, N. Abelian categories with applications to rings and modules.
   -   Букур И., Деляну А. Введение в теорию категорий и функторов.
   -   Годеман Р. Алгебраическая топология и теория пучков.
+  -  Гельфанд С.И., Манин Ю.И. Методы гомологической алгебры: Т.1. Введение в теорию когомологий и производные категории.
 __Книги по алгебраической топологии:__