Различия

Показаны различия между двумя версиями страницы.

--- s_k_homological_algebra_2024_2025 [09.04.2025 23:31]
gordienko
+++ s_k_homological_algebra_2024_2025 [20.05.2025 13:32] (текущий)
gordienko
@@ Строка 11: / Строка 11: @@
-Экзамен по задачам весеннего семестра состоится **26 мая** вместо последней лекции.
+/* Экзамен по задачам весеннего семестра состоится **26 мая** вместо последней лекции.*/
 **[[https://disk.yandex.ru/i/zsaTfmWAa1wokg|Задачи осеннего семестра]]**
-**[[https://disk.yandex.ru/i/jP8RUlJrr49BVA|Задачи весеннего семестра (в процессе составления)]]**
+**[[https://disk.yandex.ru/i/jP8RUlJrr49BVA|Задачи весеннего семестра]]**
 Решённые задачи нужно будет принести в **отдельной** тонкой тетради. На экзамене будут заданы задачи и вопросы на понимание по программе ниже. Число вопросов и задач будет зависеть от того, насколько много задач вам удастся сделать дома из списка выше, и того, насколько часто я вас видел на лекциях. На экзамене ничем нельзя будет пользоваться, кроме тетради с решёнными задачами.
@@ Строка 113: / Строка 113: @@
 ) **17.03.2025.** Спектральные последовательности. Морфизм спектральных последовательностей. Лемма об отображении. Сходимость спектральной последовательности. Теорема сравнения.
-) **24.03.2025.** Ограниченность спектральной последовательности. Спектральная последовательность фильтрованного комплекса. Классическая теорема сходимости. Спектральная последовательность двойного комплекса (начали).
+) **24.03.2025.** Ограниченность спектральной последовательности. Спектральная последовательность фильтрованного комплекса. Классическая теорема сходимости. Спектральная последовательность двойного комплекса (начало).
-) **31.03.2025.** Спектральная последовательность двойного комплекса.
+) **31.03.2025.** Спектральная последовательность двойного комплекса (окончание).
 __Упражнение.__ Докажите лемму 3x3, превратив соответствующую диаграмму в двойной комплекс и рассмотрев его спектральную последовательность.
@@ Строка 121: / Строка 121: @@
 __Упражнение.__  Пусть 0 -> A -> B -> C -> 0 - точная последовательность комплексов. Поменяв, где необходимо, знаки у дифференциалов, превратите 0 <- B <- A <- 0 в двойной комплекс и, рассмотрев его спектральную последовательность, получите длинную точную последовательность групп гомологий.
-Точная последовательность младших членов спектральной последовательности. Альтернативное доказательство балансировки функторов Tor и Ext. Резольвента Картана-Эйленберга комплекса.
+Точная последовательность младших членов спектральной последовательности. Альтернативное доказательство балансировки функторов Tor и Ext. Резольвента Картана-Эйленберга комплекса (начало).
-) **07.04.2025.** Резольвента Картана-Эйленберга комплекса (продолжение). Спектральная последовательность Гротендика. Спектральная последовательность Линдона-Хохшильда-Серра.
+) **07.04.2025.** Резольвента Картана-Эйленберга комплекса (окончание). Спектральная последовательность Гротендика. Спектральная последовательность Линдона-Хохшильда-Серра (начало).
 ) **09.04.2025.** Спектральная последовательность Линдона-Хохшильда-Серра (окончание).
-Формула Хопфа.
+Формула Хопфа (начало).
-(продолжение следует)
+) **14.04.2025.** Формула Хопфа (окончание). Универсальные центральные расширения (начало).
+__Упражнение.__ Пусть G - совершенная группа, т.е. G = [G, G], а A - абелева группа. Покажите, что неэквивалентные центральные расширения 0 → A → B → G → 0 описываются элементами группы Hom(H_2 (G; Z); A).
+__Упражнение.__ Пусть 0 → A → B → G → 0 — некоторое центральное расширение, в котором
+группы B и G совершенны. Покажите, что существует точная последовательность
+H_2 (B; Z) → H_2 (G; Z) → A → 0.
+) **21.04.2025.** Универсальные центральные расширения (окончание). Симплициальная категория (в т.ч. пополненная). (Ко)симплициальные объекты. Операторы взятия (ко)грани и (ко)вырождения. (Ко)симплициальные соотношения. Нормальная форма морфизма в симплициальной категории. Задание (ко)симплициальных объектов.
+__Упражнение.__ Доказать косимплициальные соотношения в пополненной симплициальной категории.
+) **23.04.2025.** Действие факторгруппы на гомологиях нормальной подгруппы (забыли рассказать раньше).  Сингулярные (ко)гомологии топологических пространств. Алгебраические структуры произвольной сигнатуры.
+Абсолютно свободные алгебраические структуры.
+ Многообразия алгебраических структур.
+) **28.04.2025.** Относительно свободные алгебраические структуры.
+Монады и комонады. Алгебры над монадами. Симплициальные объекты, отвечающие комонадам.
+) **05.05.2025.** Комонадические (ко)гомологии. Абелевы группы в категориях.
+__Упражнение.__ Покажите, что существует биекция между структурами абелевой группы на объекте a в категории с произведениями и поднятиями функтора Hom(-, a) в категорию абелевых групп.
+) **12.05.2025.** Модули Бека.
+__Упражнение.__ Как устроены модули Бека в категории модулей над ассоциативным кольцом с 1?
+__Упражнение.__ Вычислите когомологии Барра - Бека произвольного модуля над ассоциативной алгеброй R с 1 над полем с коэффициентами в произвольном модуле Бека в категории R-модулей.
+__Упражнение.__ Как устроены модули Бека в категории алгебр Ли над полем?
+Когомологии Барра - Бека с коэффициентами в модуле Бека.
+) **19.05.2025.** Теорема Барра - Бека об ациклических моделях. Совпадение комонадических и обычных когомологий групп (проверка условий оставлена в качестве упражнения).
+Темы, которые мы рассмотреть **не успели**. Комплекс Мура. Теорема Маклейна о нормализации. Соответствие Дольда - Кана. Отображение Александера - Уитни. Теорема Эйленберга - Зильбера.
 **[[https://teach-in.ru/course/homological-algebra-gordienko|Видеозаписи лекций на сайте teach-in (осенний семестр)]]**