Кафедра высшей алгебры

Лектор Гордиенко Алексей Сергеевич

Годовой (но можно сдавать и полгода) спецкурс для студентов 2-6 курса, магистрантов и аспирантов.

понедельник, 18:30-20:05, ауд. 14-14 (главное здание МГУ), первая лекция весеннего семестра состоится 13 февраля

Алгебра Хопфа - это ассоциативная алгебра с единицей, на которой также заданы двойственная структура (называемая коалгеброй) и некоторое отображение, называемое антиподом. Антипод является аналогом взятия обратного элемента в группе. Алгебры Хопфа впервые рассматривались в 1941 году Х. Хопфом в его работе по алгебраической топологии. С конца 1960-х годов началось изучение алгебр Хопфа с алгебраической точки зрения. В 1986 году область обрела второе дыхание с введением В.Г. Дринфельдом понятия «квантовой группы». (На самом деле, квантовые группы являются не группами, а как раз алгебрами Хопфа.) Наличие коумножения в алгебре Хопфа позволяет согласовывать её действие на других алгебрах с умножением в этих алгебрах, а также естественным образом определить структуру модуля над алгеброй Хопфа на тензорном произведении модулей над ней. В настоящее время алгебры Хопфа находят своё применение в различных областях алгебры, топологии, геометрии, функционального анализа и теоретической физики.

1) 19.09.2022. Тензорное произведение векторных пространств над полем (универсальное определение и через базис). Упражнение: вывести из универсального определения единственность тензорного произведения. Алгебра над полем (классическое определение и определение на языке линейных отображений). Коалгебра. Примеры. Обозначения Свидлера. Тензорное произведение (ко)алгебр. Структура (ко)алгебры на основном поле. Биалгебра (эквивалентные условия).

Упражнение. В отображениях и коммутативных диаграммах, задающих ассоциативную алгебру с единицей, считать, что все объекты - множества, а не векторные пространства; заменить тензорное произведение на декартово произведение множеств, а основное поле - на одноэлементное множество. Показать, что таким образом мы получаем определение моноида. Какую алгебраическую структуру мы получим, если так же поступить с определением (коассоциативной) коалгебры (с коединицей) ? Биалгебры ? Алгебры Хопфа ?

2) 03.10.2022. Алгебра Хопфа. Моноидная алгебра как биалгебра. Моноидная алгебра является алгеброй Хопфа ⇔ моноид - это группа. Аффинное алгебраическое многообразие. Алгебра регулярных функций. Морфизм аффинных алгебраических многообразий. Алгебра регулярных функции на декартовом произведении аффинных алгебраических многообразий. Аффинная алгебраическая группа. Примеры. Структура алгебры Хопфа на алгебре регулярных функций на аффинной алгебраической группе. Понятие о квантовых группах и некоммутативной геометрии.

3) 10.10.2022. Свёрточный моноид. Антипод как антигомоморфизм биалгебр. Сохранение антипода при гомоморфизмах биалгебр между алгебрами Хопфа. Левые и правые коидеалы. Двухсторонние коидеалы. Подкоалгебры. Двухсторонний коидеал не обязательно является односторонним.

4) 17.10.2022. Леммы о пересечениях для тензорных произведений векторных пространств и ядрах для тензорных произведений линейных отображений. Коалгебра как одновременно левый и правый коидеал. Ядро и образ гомоморфизма коалгебр. Структура коалгебры на факторкоалгебре. Теорема о гомоморфизме коалгебр. Биидеал. Хопфов идеал. Факторбиалгебра и факторалгебра Хопфа, соответсвующие теоремы о гомоморфизме. Группоподобные элементы. Доказательство того, что они образуют группу, и их линейной независимости.

5) 24.10.2022. Категории, функторы, естественные преобразования функторов. Примеры. Забывающие функторы. Произведение категорий. Двойственная категория. Бифункторы. Частично упорядоченное множество и группа как категории. Сопряжённые функторы. Примеры: декартово произведение и функтор взятия множества отображений, тензорное произведение и Hom, функтор абелианизации и функтор вложения категории абелевых групп в категорию групп. Упражнение: проверить естественность соответствующих биекций.

6) 31.10.2022. Свободные и забывающие функторы. Свободная (тензорная) ассоциативная алгебра с 1 как алгебра Хопфа.

Упражнение: показать, что если коумножение, коединица и антипод заданы на порождающих алгебры H, а дальше продолжены как гомоморфизм для коумножения и коединицы и антигомоморфизм для антипода, то для проверки того, что H - алгебра Хопфа, достаточно проверять все условия только для порождающих.

Алгебры Ли. Универсальная обёртывающая алгебра алгебры Ли как алгебра Хопфа. Примитивные элементы в коалгебре.

7) 07.11.2022. Группа группоподобных элементов как правый сопряжённый функтор к групповой алгебре. Алгебра Ли примитивных элементов как правый сопряжённый функтор к универсальной обёртывающей алгебре алгебры Ли. Алгебра Тафта. Алгебра Свидлера. Модуль над алгеброй. Комодуль над коалгеброй. Комодули над групповой алгеброй - это градуированные пространства. Модули над групповой алгеброй, над алгеброй Ли и над универсальной обёртывающей алгеброй. Тензорное произведение (ко)модулей над биалгеброй как (ко)модуль над биалгеброй.

8) 14.11.2022. Омега-алгебры. Модульные алгебры. Примеры: алгебры с действием группы автоморфизмами и алгебры с действием алгебры Ли дифференцированиями. Комодульные алгебры. Градуированные алгебры. Единица градуированной алгебры - однородный элемент из нейтральной компоненты. Конечномерные алгебры с действием аффинной алгебраической группы автоморфизмами как комодульные алгебры над алгеброй регулярных функций.

Упражнение: примитивные элементы в биалгебре образуют подалгебру Ли.

9) 21.11.2022. Рациональные представления аффинных алгебраических групп как комодули над алгеброй Хопфа регулярных функций. Задать на алгебре рациональное действие аффинной алгебраической группы автоморфизмами - это то же, что задать структуру комодульной алгебры над алгеброй Хопфа регулярных функций. Сопутствующее действие алгебры Ли дифференцированиями. Фундаментальная теорема о коалгебрах. Фундаментальная теорема о комодулях.

Упражнение: доказать, что для векторных пространств V и W можно отождествить V с подпространством в $V^{* *}$, $V^* \otimes W$ - с подпространством в $\mathrm{Hom}_{\mathbb{k}}(V,W)$, $V^* \otimes W^*$ - с подпространством в $(V\otimes W)^*$, причём последние включения строгие, если и только если оба пространства V и W бесконечномерны, а первое - если и только если V бесконечномерно. (Для отображения формул LaTeX можно использовать http://www.texrendr.com.)

10) 28.11.2022. Алгебра, двойственная к коалгебре. Соответствующий контравариантный функтор. Коалгебра, двойственная к конечномерной алгебре. Упражнение: показать, что это коалгебра. Эквивалентность категорий. Двойственная эквивалентность категорий конечномерных алгебр и коалгебр над полем. Упражнение: показать, что естественные преобразования C → C^{* *} и A → A^{* *} являются в этом случае изоморфизмами, соответственно, коалгебр и алгебр. Коалгебра, конечная двойственная к алгебре (=двойственная Свидлера). Прямое произведение (прямая кольцевая сумма) колец и алгебр. Сформулировали критерий принадлежности элемента из A^* коалгебре A^°.

11) 05.12.2022. Доказали критерий принадлежности элемента из A^* коалгебре A^°. (-)^° как контравариантный функтор. Сопряжённость справа контравариантных функторов (-)^° и (-)^*. Упражнение: проверить естественность биекции Vect_k(A,C^*)→ Vect_k(C,A^*).

12) 12.12.2022. Косвободная коалгебра как правый сопряжённый функтор к забывающему функтору из категории коалгебр над полем в категорию векторных пространств. Существование косвободной коалгебры для всякого векторного пространства.

13) 19.12.2022. Конечная двойственная к биалгебре и алгебре Хопфа. (-)^° как самосопряжённый справа контравариантный функтор на категориях биалгебр и алгебр Хопфа над полем. Связь между под(ко)алгебрами, левыми, правыми и двухсторонними (ко)идеалами в (ко)алгебре и (конечной) двойственной к ней. Упражнение: доказать недостающие утверждения.

14) 13.02.2023. Кокоммутативные коалгебры. Упражнение: коалгебра кокоммутативна, если и только если двойственная к ней алгебра коммутативна. Смэш-произведение. Теорема Габриэля-Картье-Костанта-Милнора-Мура о строении кокоммутативных алгебр Хопфа над алгебраически замкнутым полем характеристики 0 (формулировка). Напоминание из теории колец: радикал Джекобсона, теорема Веддербёрна-Артина. Простые коалгебры. Простые коалгебры конечномерны. Корадикал. Аннулятор корадикала конечномерной коалгебры - радикал Джекобсона двойственной алгебры. Одномерные коалгебры. Точечные и связные коалгебры.

15) 20.02.2023. Кополупростые коалгебры, неприводимые коалгебры, неприводимые компоненты и их свойства. Поднятие идемпотентов по модулю ниль-идеала в ассоциативном кольце с единицей. Разложение конечномерной коммутативной алгебры над полем в прямую сумму идеалов, являющихся локальными кольцами.

16) 27.02.2023. Разложение кокоммутативной коалгебры в прямую сумму неприводимых компонент. Корадикал тензорного произведения. Корадикал подкоалгебры. Корадикальная фильтрация. Клин подпространств. Его ассоциативность.

17) 06.03.2023. Свойства корадикальной фильтрации. Поведение корадикала при сюръективном гомоморфизме коалгебр. Доказательство первой части теоремы Габриэля-Картье-Костанта-Милнора-Мура о строении кокоммутативных алгебр Хопфа.

18) 13.03.2023. Все простые кокоммутативные коалгебры над алгебраически замкнутым полем одномерны, откуда любая кокоммутативная коалгебра над алгебраически замкнутым полем точечная. Конечная топология. Пространство линейных операторов - топологическое, является замкнутым подмножеством множества всех отображений. Алгебра, двойственная к коалгебре, - топологическая. Критерий замкнутости подпространства в V^*. Связь радикала Джекобсона с обратимыми элементами. Поведение радикала Джекобсона при сюръективных гомоморфизмах, связь с максимальными двухсторонними идеалами. Аннулятор корадикала - радикал Джекобсона алгебры, двойственной к коалгебре.

19) 20.03.2023. Примитивные и группоподобные элементы в универсальной обёртывающей алгебре алгебры Ли. Упражнение: найти примитивные и группоподобные элементы в групповой алгебре. Топологические свойства отображения ограничения линейной функции на фиксированное подпространство. Коалгебра C_1 и коумножение в C_n для связной коалгебры. Лемма об инъективности гомоморфизма коалгебр в связном случае. Градуированная алгебра связной коалгебры и её свойства.

20) 27.03.2023. Конечномерные подпространства замкнуты в конечной топологии. Алгебра, двойственная к универсальной обёртывающей коалгебре конечномерной алгебры Ли. Приступили к завершению доказательства теоремы Габриэля-Картье-Костанта-Милнора-Мура.

21) 03.04.2023. Универсальная обёртывающая связна. Завершение доказательства теоремы Габриэля-Картье-Костанта-Милнора-Мура. Напоминание: неприводимые (простые) и вполне приводимые (полупростые) модули, теорема плотности. Упражнение: конечномерная алгебра полупроста ⇔ все её конечномерные модули вполне приводимы. Связь между правыми C-комодулями и левыми C^*-модулями. Рациональные C^*-модули. Упражнение: рациональная часть C^*-модуля - это C^*-подмодуль.

22) 10.04.2023. Косвободные комодули. Носитель комодуля. Критерий кополупростоты в терминах цоколя. Связь кополупростоты и полной приводимости комодулей.

23) 17.04.2023. Интегралы в и на алгебре Хопфа. Трюк Машке. Свойство отщепляемости. Достаточные условия конечномерности алгебры Хопфа. Критерий полупростоты в терминах интегралов (теорема Машке для алгебр Хопфа).

24) 24.04.2023. Критерий кополупростоты в терминах интегралов (двойственная теорема Машке для алгебр Хопфа). Теорема Ларсона-Свидлера и другие теоремы о (ко)полупростоте и интегралах (без доказательства).

25) 01.05.2023. Нет занятия (выходной день).

26) 08.05.2023. Нет занятия (выходной день).

27) 15.05.2023. Квантовые группы и модули Йеттера - Дринфельда (обзор).

28) 22.05.2023. Экзамен в ауд. 15-02.

Литература:

1. Montgomery, S. Hopf algebras and their actions on rings.
2. Dăscălescu, S., Năstăsescu, C., Raianu, Ș. Hopf algebras: an introduction.
3. Abe, E. Hopf algebras.
4. Sweedler, M. Hopf algebras.
5. (Ко)модульные алгебры и их обобщения (рукопись монографии)
6. Majid, S. Foundations of quantum group theory.
7. Хамфри Дж. Линейные алгебраические группы.
8. Маклейн С. Категории для работающего математика.