Различия

Показаны различия между двумя версиями страницы.

--- s_k_hopf_algebras_2022_2023 [14.03.2023 22:12]
gordienko
+++ s_k_hopf_algebras_2022_2023 [08.04.2025 16:43] (текущий)
@@ Строка 1: / Строка 1: @@
-=== Специальный курс "Алгебры Хопфа", мехмат МГУ, осенний и весенний семестры 2022/2023 ===
+==== Специальный курс "Алгебры Хопфа", мехмат МГУ, осенний и весенний семестры 2022/2023 ====
 **Лектор [[:staff:gordienko|Гордиенко Алексей Сергеевич]]**
 Годовой (но можно сдавать и полгода) спецкурс для студентов 2-6 курса, магистрантов и аспирантов.
-**понедельник, 18:30-20:05**, ауд. 14-14 (главное здание МГУ), первая лекция весеннего семестра состоится **13 февраля**
+**понедельник, 18:30-20:05**, ауд. **14-14** (главное здание МГУ), первая лекция весеннего семестра состоится **13 февраля**
 Алгебра Хопфа - это ассоциативная алгебра с единицей, на которой также заданы двойственная структура (называемая коалгеброй) и некоторое отображение, называемое антиподом. Антипод является аналогом взятия обратного элемента в группе. Алгебры Хопфа впервые рассматривались в 1941 году Х. Хопфом в его работе по алгебраической топологии. С конца 1960-х годов началось изучение алгебр Хопфа с алгебраической точки зрения. В 1986 году область обрела второе дыхание с введением В.Г. Дринфельдом понятия "квантовой группы". (На самом деле, квантовые группы являются не группами, а как раз алгебрами Хопфа.) Наличие коумножения в алгебре Хопфа позволяет согласовывать её действие на других алгебрах с умножением в этих алгебрах, а также естественным образом определить структуру модуля над алгеброй Хопфа на тензорном произведении модулей над ней. В настоящее время алгебры Хопфа находят своё применение в различных областях алгебры, топологии, геометрии, функционального анализа и теоретической физики.
@@ Строка 12: / Строка 12: @@
 __Упражнение.__ В отображениях и коммутативных диаграммах, задающих ассоциативную алгебру с единицей, считать, что все объекты - множества, а не векторные пространства; заменить тензорное произведение на декартово произведение множеств, а основное поле - на одноэлементное множество. Показать, что таким образом мы получаем определение моноида. Какую алгебраическую структуру мы получим, если так же поступить с определением (коассоциативной) коалгебры (с коединицей) ? Биалгебры ? Алгебры Хопфа ?
-) **03.10.2022.** Алгебра Хопфа. Моноидная алгебра как биалгебра. Моноидная алгебра является алгеброй Хопфа <=> моноид - это группа. Аффинное алгебраическое многообразие. Алгебра регулярных функций. Морфизм аффинных алгебраических многообразий. Алгебра регулярных функции на декартовом произведении аффинных алгебраических многообразий. Аффинная алгебраическая группа. Примеры. Структура алгебры Хопфа на алгебре регулярных функции на аффинной алгебраической группе. Понятие о квантовых группах и некоммутативной геометрии.
+) **03.10.2022.** Алгебра Хопфа. Моноидная алгебра как биалгебра. Моноидная алгебра является алгеброй Хопфа <=> моноид - это группа. Аффинное алгебраическое многообразие. Алгебра регулярных функций. Морфизм аффинных алгебраических многообразий. Алгебра регулярных функции на декартовом произведении аффинных алгебраических многообразий. Аффинная алгебраическая группа. Примеры. Структура алгебры Хопфа на алгебре регулярных функций на аффинной алгебраической группе. Понятие о квантовых группах и некоммутативной геометрии.
 ) **10.10.2022.** Свёрточный моноид. Антипод как антигомоморфизм биалгебр. Сохранение антипода при гомоморфизмах биалгебр между алгебрами Хопфа. Левые и правые коидеалы. Двухсторонние коидеалы. Подкоалгебры. Двухсторонний коидеал не обязательно является односторонним.
@@ Строка 64: / Строка 64: @@
 корадикала - радикал Джекобсона алгебры, двойственной к коалгебре.
-(продолжение следует)
+) **20.03.2023.** Примитивные и группоподобные элементы в универсальной обёртывающей алгебре алгебры Ли. __Упражнение:__ найти примитивные и группоподобные элементы в групповой алгебре.
+Топологические свойства отображения ограничения линейной функции на фиксированное подпространство. Коалгебра C_1 и коумножение в C_n для связной коалгебры. Лемма об инъективности гомоморфизма коалгебр в связном случае. Градуированная алгебра связной коалгебры и её свойства.
+) **27.03.2023.** Конечномерные подпространства замкнуты в конечной топологии. Алгебра, двойственная к универсальной обёртывающей коалгебре конечномерной алгебры Ли. Приступили к завершению доказательства теоремы Габриэля-Картье-Костанта-Милнора-Мура.
+) **03.04.2023.** Универсальная обёртывающая связна.
+Завершение доказательства теоремы Габриэля-Картье-Костанта-Милнора-Мура. Напоминание: неприводимые (простые) и вполне приводимые (полупростые) модули, теорема плотности. __Упражнение:__ конечномерная алгебра полупроста <=> все её конечномерные модули вполне приводимы. Связь между правыми C-комодулями и левыми C^*-модулями. Рациональные C^*-модули. __Упражнение:__ рациональная часть C^*-модуля - это C^*-подмодуль.
+) **10.04.2023.** Косвободные комодули. Носитель комодуля. Критерий кополупростоты в терминах цоколя. Связь кополупростоты и полной приводимости комодулей.
+) **17.04.2023.** Интегралы в и на алгебре Хопфа. Трюк Машке. Свойство отщепляемости. Достаточные условия конечномерности алгебры Хопфа. Критерий полупростоты в терминах интегралов (теорема Машке для алгебр Хопфа).
+) **24.04.2023.** Критерий кополупростоты в терминах интегралов (двойственная теорема Машке для алгебр Хопфа). Теорема Ларсона-Свидлера и другие теоремы о (ко)полупростоте и интегралах (без доказательства).
+) **01.05.2023.** Нет занятия (выходной день).
+) **08.05.2023.** Нет занятия (выходной день).
+) **15.05.2023.** Квантовые группы и модули Йеттера - Дринфельда (обзор).
+) **22.05.2023.** Экзамен в ауд. <color #FF0000>**15-02**</color>.
 __Литература:__