Различия

Показаны различия между двумя версиями страницы.

--- s_k_hopf_algebras_2022_2023 [29.03.2023 20:56]
gordienko
+++ s_k_hopf_algebras_2022_2023 [10.05.2026 15:28] (текущий)
gordienko
@@ Строка 1: / Строка 1: @@
-=== Специальный курс "Алгебры Хопфа", мехмат МГУ, осенний и весенний семестры 2022/2023 ===
+==== Специальный курс "Алгебры Хопфа", мехмат МГУ, осенний и весенний семестры 2022/2023 ====
 **Лектор [[:staff:gordienko|Гордиенко Алексей Сергеевич]]**
 Годовой (но можно сдавать и полгода) спецкурс для студентов 2-6 курса, магистрантов и аспирантов.
-**понедельник, 18:30-20:05**, ауд. 14-14 (главное здание МГУ), первая лекция весеннего семестра состоится **13 февраля**
+**понедельник, 18:30-20:05**, ауд. **14-14** (главное здание МГУ), первая лекция весеннего семестра состоится **13 февраля**
 Алгебра Хопфа - это ассоциативная алгебра с единицей, на которой также заданы двойственная структура (называемая коалгеброй) и некоторое отображение, называемое антиподом. Антипод является аналогом взятия обратного элемента в группе. Алгебры Хопфа впервые рассматривались в 1941 году Х. Хопфом в его работе по алгебраической топологии. С конца 1960-х годов началось изучение алгебр Хопфа с алгебраической точки зрения. В 1986 году область обрела второе дыхание с введением В.Г. Дринфельдом понятия "квантовой группы". (На самом деле, квантовые группы являются не группами, а как раз алгебрами Хопфа.) Наличие коумножения в алгебре Хопфа позволяет согласовывать её действие на других алгебрах с умножением в этих алгебрах, а также естественным образом определить структуру модуля над алгеброй Хопфа на тензорном произведении модулей над ней. В настоящее время алгебры Хопфа находят своё применение в различных областях алгебры, топологии, геометрии, функционального анализа и теоретической физики.
@@ Строка 16: / Строка 16: @@
 ) **10.10.2022.** Свёрточный моноид. Антипод как антигомоморфизм биалгебр. Сохранение антипода при гомоморфизмах биалгебр между алгебрами Хопфа. Левые и правые коидеалы. Двухсторонние коидеалы. Подкоалгебры. Двухсторонний коидеал не обязательно является односторонним.
-) **17.10.2022.** Леммы о пересечениях для тензорных произведений векторных пространств и ядрах для тензорных произведений линейных отображений. Коалгебра как одновременно левый и правый коидеал. Ядро и образ гомоморфизма коалгебр. Структура коалгебры на факторкоалгебре. Теорема о гомоморфизме коалгебр. Биидеал. Хопфов идеал. Факторбиалгебра и факторалгебра Хопфа, соответсвующие теоремы о гомоморфизме. Группоподобные элементы.  Доказательство того, что они образуют группу, и их линейной независимости.
+) **17.10.2022.** Леммы о пересечениях для тензорных произведений векторных пространств и ядрах для тензорных произведений линейных отображений. Коалгебра как одновременно левый и правый коидеал. Ядро и образ гомоморфизма коалгебр. Структура коалгебры на факторкоалгебре. Теорема о гомоморфизме коалгебр. Биидеал. Хопфов идеал. Факторбиалгебра и факторалгебра Хопфа, соответствующие теоремы о гомоморфизме. Группоподобные элементы.  Доказательство того, что они образуют группу, и их линейной независимости.
 ) **24.10.2022.** Категории, функторы, естественные преобразования функторов. Примеры. Забывающие функторы. Произведение категорий. Двойственная категория. Бифункторы. Частично упорядоченное множество и группа как категории. Сопряжённые функторы. Примеры: декартово произведение и функтор взятия множества отображений, тензорное произведение и Hom, функтор абелианизации и функтор вложения категории абелевых групп в категорию групп. __Упражнение:__ проверить естественность соответствующих биекций.
@@ Строка 67: / Строка 67: @@
 Топологические свойства отображения ограничения линейной функции на фиксированное подпространство. Коалгебра C_1 и коумножение в C_n для связной коалгебры. Лемма об инъективности гомоморфизма коалгебр в связном случае. Градуированная алгебра связной коалгебры и её свойства.
-) 27.03.2023. Конечномерные подпространства замкнуты в конечной топологии. Алгебра, двойственная к универсальной обёртывающей коалгебре конечномерной алгебры Ли. Приступили к завершению доказательства теоремы Габриэля-Картье-Костанта-Милнора-Мура.
+) **27.03.2023.** Конечномерные подпространства замкнуты в конечной топологии. Алгебра, двойственная к универсальной обёртывающей коалгебре конечномерной алгебры Ли. Приступили к завершению доказательства теоремы Габриэля-Картье-Костанта-Милнора-Мура.
-(продолжение следует)
+) **03.04.2023.** Универсальная обёртывающая связна.
+Завершение доказательства теоремы Габриэля-Картье-Костанта-Милнора-Мура. Напоминание: неприводимые (простые) и вполне приводимые (полупростые) модули, теорема плотности. __Упражнение:__ конечномерная алгебра полупроста <=> все её конечномерные модули вполне приводимы. Связь между правыми C-комодулями и левыми C^*-модулями. Рациональные C^*-модули. __Упражнение:__ рациональная часть C^*-модуля - это C^*-подмодуль.
+) **10.04.2023.** Косвободные комодули. Носитель комодуля. Критерий кополупростоты в терминах цоколя. Связь кополупростоты и полной приводимости комодулей.
+) **17.04.2023.** Интегралы в и на алгебре Хопфа. Трюк Машке. Свойство отщепляемости. Достаточные условия конечномерности алгебры Хопфа. Критерий полупростоты в терминах интегралов (теорема Машке для алгебр Хопфа).
+) **24.04.2023.** Критерий кополупростоты в терминах интегралов (двойственная теорема Машке для алгебр Хопфа). Теорема Ларсона-Свидлера и другие теоремы о (ко)полупростоте и интегралах (без доказательства).
+) **01.05.2023.** Нет занятия (выходной день).
+) **08.05.2023.** Нет занятия (выходной день).
+) **15.05.2023.** Квантовые группы и модули Йеттера - Дринфельда (обзор).
+) **22.05.2023.** Экзамен в ауд. <color #FF0000>**15-02**</color>.
 __Литература:__