Лектор Гордиенко Алексей Сергеевич

Название осеннего семестра Алгебры Хопфа (введение), весеннего семестра - Алгебры Хопфа (основные конструкции).

Годовой спецкурс (два полугодовых спецкурса) для студентов 2-6 курса, магистрантов и аспирантов.

понедельник, 18:30-20:05, ауд.1408 (главное здание МГУ), первая лекция 7 сентября 2026 года

среда, 16:45-18:20, ауд. станет известна позднее, в следующие даты: 18, 25 ноября и 2 декабря.

Экзамен по задачам осеннего семестра состоится 14 декабря вместо последней лекции.

Задачи осеннего семестра (в процессе составления)

Решённые задачи нужно будет принести в отдельной тонкой тетради. На экзамене будут заданы задачи и вопросы на понимание по программе ниже. Число вопросов и задач будет зависеть от того, насколько много задач вам удастся сделать дома из списка выше, и того, насколько часто я вас видел на лекциях. На экзамене ничем нельзя будет пользоваться, кроме тетради с решёнными задачами.

Аннотация курса. Алгебра Хопфа - это ассоциативная алгебра с единицей, на которой также заданы двойственная структура (называемая коалгеброй) и некоторое отображение, называемое антиподом. Антипод является аналогом взятия обратного элемента в группе. Алгебры Хопфа впервые рассматривались в 1941 году Х. Хопфом в его работе по алгебраической топологии. С конца 1960-х годов началось изучение алгебр Хопфа с алгебраической точки зрения. В 1986 году область обрела второе дыхание с введением В.Г. Дринфельдом и другими понятия «квантовой группы». (На самом деле, квантовые группы являются не группами, а как раз алгебрами Хопфа.) Наличие коумножения в алгебре Хопфа позволяет согласовывать её действие на других алгебрах с умножением в этих алгебрах, а также естественным образом определить структуру модуля над алгеброй Хопфа на тензорном произведении модулей над ней. (Ко)действия алгебры Хопфа на алгебрах можно интерпретировать как «квантовые симметрии» некоторых необязательно коммутатативных многообразий. В настоящее время алгебры Хопфа находят своё применение в самых различных областях алгебры, топологии, геометрии, комбинаторики, функционального анализа и теоретической физики.

Благодарности: чтение спецкурса в осеннем семестре поддержано фондом БАЗИС.

1) 07.09.2026. Тензорное произведение векторных пространств над полем (универсальное определение и через базис). Упражнение: вывести из универсального определения единственность тензорного произведения. Алгебра над полем (классическое определение и определение на языке линейных отображений). Коалгебра. Примеры. Обозначения Свидлера. Тензорное произведение (ко)алгебр. Структура (ко)алгебры на основном поле. Гомоморфизмы коалгебр. Биалгебра (эквивалентные условия). Моноидная алгебра как биалгебра. Алгебра Хопфа.

Упражнение. Покажите, что если в отображениях и коммутативных диаграммах, задающих ассоциативную алгебру с единицей, считать, что все объекты - множества, а не векторные пространства, и заменить тензорное произведение на декартово произведение множеств, а основное поле - на одноэлементное множество, получится определение моноида. Какую алгебраическую структуру мы получим, если так же поступить с определением (коассоциативной) коалгебры (с коединицей) ? Биалгебры ? Алгебры Хопфа ?

Групповая алгебра. Кокоммутативная коалгебра.

2) 14.09.2026. Свёрточный моноид. Единственность антипода в алгебре Хопфа. Антипод как антигомоморфизм биалгебр. Сохранение антипода при гомоморфизмах биалгебр между алгебрами Хопфа. Аффинное алгебраическое многообразие. Морфизм аффинных алгебраических многообразий. Алгебра регулярных функций. Биекция между морфизмами многообразий и гомоморфизмами алгебр регулярных функций (со сменой направления стрелок).

3) 21.09.2026. Левые, правые, двухсторонние идеалы в кольцах и алгебрах. Факторалгебра. Нётерово кольцо. Кольцо главных идеалов. Радикал идеала в коммутативном кольце.

Упражнение. Показать, что радикал идеала сам является идеалом.

Теоремы Гильберта о базисе и о нулях (без доказательства). Соответствие в случае алгебраически замкнутого поля между аффинными алгебраическими многообразиями и конечно порождёнными коммутативными ассоциативными алгебрами с единицей без ненулевых нильпотентных элементов. Алгебра регулярных функции на декартовом произведении аффинных алгебраических многообразий. Аффинная алгебраическая группа. Примеры. Структура алгебры Хопфа на алгебре регулярных функций на аффинной алгебраической группе.

4) 28.09.2026. Любая конечно порождённая коммутативная алгебра Хопфа без ненулевых нильпотентных элементов над алгебраически замкнутым полем изоморфна алгебре Хопфа регулярных функций некоторой аффинной алгебраической группы. Левые и правые коидеалы. Двухсторонние коидеалы. Подкоалгебры. Леммы о пересечениях для тензорных произведений векторных пространств и ядрах для тензорных произведений линейных отображений. Коалгебра как одновременно левый и правый коидеал.

Упражнение. Докажите, что пересечение левых, правых коидеалов или подкоалгебр - это всегда соответственно левый, правый коидеал или подкоалгебра.

Ядро и образ гомоморфизма коалгебр. Структура коалгебры на факторкоалгебре. Теорема о гомоморфизме коалгебр. Биидеал. Хопфов идеал. Факторбиалгебра и факторалгебра Хопфа.

Упражнение. Сформулируйте и докажите теоремы о гомоморфизме биалгебр и алгебр Хопфа.

Двойственные векторные пространства.

Упражнение. Докажите, что для векторных пространств $V$ и $W$ можно отождествить $V$ с подпространством в $V^{* *}$, $V^* \otimes W$ — с подпространством в $\mathrm{Hom}_{\mathbb{k}}(V,W)$, $V^* \otimes W^*$ — с подпространством в $(V\otimes W)^*$, причём последние включения строгие, если и только если оба пространства $V$ и $W$ бесконечномерны, а первое — если и только если $V$ бесконечномерно.

(Продолжение следует.)

Лекции по специальным курсам (в процессе написания)

Литература:

1. Montgomery, S. Hopf algebras and their actions on rings.
2. Dăscălescu, S., Năstăsescu, C., Raianu, Ș. Hopf algebras: an introduction.
3. Abe, E. Hopf algebras.
4. Sweedler, M. Hopf algebras.
5. (Ко)модульные алгебры и их обобщения (рукопись монографии)
6. Majid, S. Foundations of quantum group theory.
7. Хамфри Дж. Линейные алгебраические группы.
8. Маклейн С. Категории для работающего математика.