Различия

Показаны различия между двумя версиями страницы.

--- s_k_hopf_algebras_2026_2027 [31.08.2026 16:14]
gordienko
+++ s_k_hopf_algebras_2026_2027 [13.10.2026 07:34] (текущий)
gordienko
@@ Строка 7: / Строка 7: @@
 **понедельник**, **18:30-20:05**, ауд.**1408** (главное здание МГУ), первая лекция **7 сентября 2026 года**
+**среда**, **16:45-18:20**, ауд. станет известна позднее, в следующие даты: **18**, **25 ноября** и **2 декабря**.
+Экзамен по задачам осеннего семестра состоится **14 декабря** вместо последней лекции.
+**[[https://disk.yandex.ru/i/xl-iuoWA18NDvQ|Задачи осеннего семестра (в процессе составления)]]**
+Решённые задачи нужно будет принести в **отдельной** тонкой тетради. На экзамене будут заданы задачи и вопросы на понимание по программе ниже. Число вопросов и задач будет зависеть от того, насколько много задач вам удастся сделать дома из списка выше, и того, насколько часто я вас видел на лекциях. На экзамене ничем нельзя будет пользоваться, кроме тетради с решёнными задачами.
 __Аннотация курса.__ Алгебра Хопфа - это ассоциативная алгебра с единицей, на которой также заданы двойственная структура (называемая коалгеброй) и некоторое отображение, называемое антиподом. Антипод является аналогом взятия обратного элемента в группе. Алгебры Хопфа впервые рассматривались в 1941 году Х. Хопфом в его работе по алгебраической топологии. С конца 1960-х годов началось изучение алгебр Хопфа с алгебраической точки зрения. В 1986 году область обрела второе дыхание с введением В.Г. Дринфельдом и другими понятия "квантовой группы". (На самом деле, квантовые группы являются не группами, а как раз алгебрами Хопфа.) Наличие коумножения в алгебре Хопфа позволяет согласовывать её действие на других алгебрах с умножением в этих алгебрах, а также естественным образом определить структуру модуля над алгеброй Хопфа на тензорном произведении модулей над ней.
 (Ко)действия алгебры Хопфа на алгебрах можно интерпретировать как "квантовые симметрии" некоторых необязательно коммутатативных многообразий. В настоящее время алгебры Хопфа находят своё применение в самых различных областях алгебры, топологии, геометрии, комбинаторики, функционального анализа и теоретической физики.
+__Благодарности:__ чтение спецкурса в осеннем семестре поддержано фондом БАЗИС.
+) **07.09.2026.** Тензорное произведение векторных пространств над полем (универсальное определение и через базис). __Упражнение:__ вывести из универсального определения единственность тензорного произведения. Алгебра над полем (классическое определение и определение на языке линейных отображений). Коалгебра. Примеры. Обозначения Свидлера. Тензорное произведение (ко)алгебр. Структура (ко)алгебры на основном поле. Гомоморфизмы коалгебр. Биалгебра (эквивалентные условия). Моноидная алгебра как биалгебра. Алгебра Хопфа.
+ __Упражнение.__ Покажите, что если в отображениях и коммутативных диаграммах, задающих ассоциативную алгебру с единицей, считать, что все объекты - множества, а не векторные пространства, и заменить тензорное произведение на декартово произведение множеств, а основное поле - на одноэлементное множество, получится определение моноида. Какую алгебраическую структуру мы получим, если так же поступить с определением (коассоциативной) коалгебры (с коединицей) ? Биалгебры ? Алгебры Хопфа ?
+ Групповая алгебра. Кокоммутативная коалгебра.
+) **14.09.2026.** Свёрточный моноид.
+Единственность антипода в алгебре Хопфа.
+Антипод как антигомоморфизм биалгебр. Сохранение антипода при гомоморфизмах биалгебр между алгебрами Хопфа.
+Аффинное алгебраическое многообразие. Морфизм аффинных алгебраических многообразий.
+Алгебра регулярных функций. Биекция между морфизмами многообразий и гомоморфизмами алгебр регулярных функций (со сменой направления стрелок).
+) **21.09.2026.** Левые, правые, двухсторонние идеалы в кольцах и алгебрах. Факторалгебра. Нётерово кольцо. Кольцо главных идеалов. Радикал идеала в коммутативном кольце.
+__Упражнение.__ Показать, что радикал идеала сам является идеалом.
+Теоремы Гильберта о базисе и о нулях (без доказательства). Соответствие в случае алгебраически замкнутого поля между аффинными алгебраическими многообразиями и конечно порождёнными коммутативными ассоциативными алгебрами с единицей без ненулевых нильпотентных элементов. Алгебра регулярных функции на декартовом произведении аффинных алгебраических многообразий. Аффинная алгебраическая группа. Примеры. Структура алгебры Хопфа на алгебре регулярных функций на аффинной алгебраической группе.
+) **28.09.2026.** Любая конечно порождённая коммутативная алгебра Хопфа без ненулевых нильпотентных элементов над алгебраически замкнутым полем изоморфна алгебре Хопфа регулярных функций некоторой аффинной алгебраической группы.
+Левые и правые коидеалы. Двухсторонние коидеалы. Подкоалгебры. Леммы о пересечениях для тензорных произведений векторных пространств и ядрах для тензорных произведений линейных отображений. Коалгебра как одновременно левый и правый коидеал.
+__Упражнение.__ Докажите, что пересечение левых, правых коидеалов или подкоалгебр - это всегда соответственно левый, правый коидеал или подкоалгебра.
+ Ядро и образ гомоморфизма коалгебр. Структура коалгебры на факторкоалгебре. Теорема о гомоморфизме коалгебр. Биидеал. Хопфов идеал. Факторбиалгебра и факторалгебра Хопфа.
+__Упражнение.__ Сформулируйте и докажите теоремы о гомоморфизме биалгебр и алгебр Хопфа.
+Двойственные векторные пространства.
+__Упражнение.__ Докажите, что для векторных пространств $V$ и $W$ можно отождествить $V$ с подпространством в $V^{* *}$, $V^* \otimes W$ --- с подпространством в $\mathrm{Hom}_{\mathbb{k}}(V,W)$, $V^* \otimes  W^*$  --- с подпространством в $(V\otimes W)^*$, причём последние включения строгие, если и только если оба пространства $V$ и $W$ бесконечномерны, а первое --- если и только если $V$ бесконечномерно.
+) **05.10.2026.**
+Алгебра, двойственная к коалгебре. Коалгебра, двойственная к конечномерной алгебре.
+__Упражнение:__ показать, что это коалгебра.
+Матричная коалгебра. Аннуляторы.
+Соответствие между подкоалгебрами, односторонними и двухсторонними коидеалами в коалгебре
+и подалгебрами, односторонними и двухсторонними идеалами в алгебре, двойственной к ней.
+) **12.10.2026.** Аннулятор суммы и пересечения подпространств. Отображение, двойственное к гомоморфизму коалгебр. Двухсторонний коидеал не обязательно является односторонним. Пересечение коидеалов не обязательно является коидеалом.
+Коалгебра $A^\circ$, конечная двойственная к алгебре $A$. Модули над алгебрами. Критерий принадлежности элемента из $A^*$ коалгебре $A^\circ$.
+Пример тривиальной конечной двойственной. Аннуляторы к подкоалгебрам, односторонним и двухсторонним коидеалам в $A^\circ$.
+(Продолжение следует.)
+**[[https://disk.yandex.ru/i/lMVIw3yEiUeLjw|Лекции по специальным курсам (в процессе написания)]]**
+Видеозаписи лекций на сайте teach-in (эти же видео могут быть выложены и на других платформах; чтобы их найти, используйте поиск в интернете):
+**[[https://teach-in.ru/course/Algebri_Khoppha| Алгебры Хопфа (введение; осенний семестр)]]**
 __Литература:__