Различия

Показаны различия между двумя версиями страницы.

--- s_k_hopf_algebras_2026_2027 [16.09.2026 01:19]
gordienko
+++ s_k_hopf_algebras_2026_2027 [13.10.2026 07:34] (текущий)
gordienko
@@ Строка 33: / Строка 33: @@
 Аффинное алгебраическое многообразие. Морфизм аффинных алгебраических многообразий.
 Алгебра регулярных функций. Биекция между морфизмами многообразий и гомоморфизмами алгебр регулярных функций (со сменой направления стрелок).
+) **21.09.2026.** Левые, правые, двухсторонние идеалы в кольцах и алгебрах. Факторалгебра. Нётерово кольцо. Кольцо главных идеалов. Радикал идеала в коммутативном кольце.
+__Упражнение.__ Показать, что радикал идеала сам является идеалом.
+Теоремы Гильберта о базисе и о нулях (без доказательства). Соответствие в случае алгебраически замкнутого поля между аффинными алгебраическими многообразиями и конечно порождёнными коммутативными ассоциативными алгебрами с единицей без ненулевых нильпотентных элементов. Алгебра регулярных функции на декартовом произведении аффинных алгебраических многообразий. Аффинная алгебраическая группа. Примеры. Структура алгебры Хопфа на алгебре регулярных функций на аффинной алгебраической группе.
+) **28.09.2026.** Любая конечно порождённая коммутативная алгебра Хопфа без ненулевых нильпотентных элементов над алгебраически замкнутым полем изоморфна алгебре Хопфа регулярных функций некоторой аффинной алгебраической группы.
+Левые и правые коидеалы. Двухсторонние коидеалы. Подкоалгебры. Леммы о пересечениях для тензорных произведений векторных пространств и ядрах для тензорных произведений линейных отображений. Коалгебра как одновременно левый и правый коидеал.
+__Упражнение.__ Докажите, что пересечение левых, правых коидеалов или подкоалгебр - это всегда соответственно левый, правый коидеал или подкоалгебра.
+ Ядро и образ гомоморфизма коалгебр. Структура коалгебры на факторкоалгебре. Теорема о гомоморфизме коалгебр. Биидеал. Хопфов идеал. Факторбиалгебра и факторалгебра Хопфа.
+__Упражнение.__ Сформулируйте и докажите теоремы о гомоморфизме биалгебр и алгебр Хопфа.
+Двойственные векторные пространства.
+__Упражнение.__ Докажите, что для векторных пространств $V$ и $W$ можно отождествить $V$ с подпространством в $V^{* *}$, $V^* \otimes W$ --- с подпространством в $\mathrm{Hom}_{\mathbb{k}}(V,W)$, $V^* \otimes  W^*$  --- с подпространством в $(V\otimes W)^*$, причём последние включения строгие, если и только если оба пространства $V$ и $W$ бесконечномерны, а первое --- если и только если $V$ бесконечномерно.
+) **05.10.2026.**
+Алгебра, двойственная к коалгебре. Коалгебра, двойственная к конечномерной алгебре.
+__Упражнение:__ показать, что это коалгебра.
+Матричная коалгебра. Аннуляторы.
+Соответствие между подкоалгебрами, односторонними и двухсторонними коидеалами в коалгебре
+и подалгебрами, односторонними и двухсторонними идеалами в алгебре, двойственной к ней.
+) **12.10.2026.** Аннулятор суммы и пересечения подпространств. Отображение, двойственное к гомоморфизму коалгебр. Двухсторонний коидеал не обязательно является односторонним. Пересечение коидеалов не обязательно является коидеалом.
+Коалгебра $A^\circ$, конечная двойственная к алгебре $A$. Модули над алгебрами. Критерий принадлежности элемента из $A^*$ коалгебре $A^\circ$.
+Пример тривиальной конечной двойственной. Аннуляторы к подкоалгебрам, односторонним и двухсторонним коидеалам в $A^\circ$.
 (Продолжение следует.)
 **[[https://disk.yandex.ru/i/lMVIw3yEiUeLjw|Лекции по специальным курсам (в процессе написания)]]**
+Видеозаписи лекций на сайте teach-in (эти же видео могут быть выложены и на других платформах; чтобы их найти, используйте поиск в интернете):
+**[[https://teach-in.ru/course/Algebri_Khoppha| Алгебры Хопфа (введение; осенний семестр)]]**
 __Литература:__