| Предыдущая версия справа и слева
Предыдущая версия
Следующая версия
|
Предыдущая версия
|
s_k_hopf_algebras_2026_2027 [22.09.2026 07:26]
gordienko |
s_k_hopf_algebras_2026_2027 [13.10.2026 07:34] (текущий)
gordienko |
| Алгебра регулярных функций. Биекция между морфизмами многообразий и гомоморфизмами алгебр регулярных функций (со сменой направления стрелок). | Алгебра регулярных функций. Биекция между морфизмами многообразий и гомоморфизмами алгебр регулярных функций (со сменой направления стрелок). |
| |
| 3) **21.09.2026.** | 3) **21.09.2026.** Левые, правые, двухсторонние идеалы в кольцах и алгебрах. Факторалгебра. Нётерово кольцо. Кольцо главных идеалов. Радикал идеала в коммутативном кольце. |
| Соответствие в случае алгебраически замкнутого поля между аффинными алгебраическими многообразиями и коммутативными ассоциативными алгебрами с единицей без ненулевых нильпотентных элементов. Алгебра регулярных функции на декартовом произведении аффинных алгебраических многообразий. Аффинная алгебраическая группа. Примеры. Структура алгебры Хопфа на алгебре регулярных функций на аффинной алгебраической группе. | |
| | __Упражнение.__ Показать, что радикал идеала сам является идеалом. |
| | |
| | Теоремы Гильберта о базисе и о нулях (без доказательства). Соответствие в случае алгебраически замкнутого поля между аффинными алгебраическими многообразиями и конечно порождёнными коммутативными ассоциативными алгебрами с единицей без ненулевых нильпотентных элементов. Алгебра регулярных функции на декартовом произведении аффинных алгебраических многообразий. Аффинная алгебраическая группа. Примеры. Структура алгебры Хопфа на алгебре регулярных функций на аффинной алгебраической группе. |
| | |
| | 4) **28.09.2026.** Любая конечно порождённая коммутативная алгебра Хопфа без ненулевых нильпотентных элементов над алгебраически замкнутым полем изоморфна алгебре Хопфа регулярных функций некоторой аффинной алгебраической группы. |
| | Левые и правые коидеалы. Двухсторонние коидеалы. Подкоалгебры. Леммы о пересечениях для тензорных произведений векторных пространств и ядрах для тензорных произведений линейных отображений. Коалгебра как одновременно левый и правый коидеал. |
| | |
| | __Упражнение.__ Докажите, что пересечение левых, правых коидеалов или подкоалгебр - это всегда соответственно левый, правый коидеал или подкоалгебра. |
| | |
| | Ядро и образ гомоморфизма коалгебр. Структура коалгебры на факторкоалгебре. Теорема о гомоморфизме коалгебр. Биидеал. Хопфов идеал. Факторбиалгебра и факторалгебра Хопфа. |
| | |
| | __Упражнение.__ Сформулируйте и докажите теоремы о гомоморфизме биалгебр и алгебр Хопфа. |
| | |
| | Двойственные векторные пространства. |
| | |
| | __Упражнение.__ Докажите, что для векторных пространств $V$ и $W$ можно отождествить $V$ с подпространством в $V^{* *}$, $V^* \otimes W$ --- с подпространством в $\mathrm{Hom}_{\mathbb{k}}(V,W)$, $V^* \otimes W^*$ --- с подпространством в $(V\otimes W)^*$, причём последние включения строгие, если и только если оба пространства $V$ и $W$ бесконечномерны, а первое --- если и только если $V$ бесконечномерно. |
| | |
| | 5) **05.10.2026.** |
| | Алгебра, двойственная к коалгебре. Коалгебра, двойственная к конечномерной алгебре. |
| | |
| | __Упражнение:__ показать, что это коалгебра. |
| | |
| | Матричная коалгебра. Аннуляторы. |
| | Соответствие между подкоалгебрами, односторонними и двухсторонними коидеалами в коалгебре |
| | и подалгебрами, односторонними и двухсторонними идеалами в алгебре, двойственной к ней. |
| | |
| | 6) **12.10.2026.** Аннулятор суммы и пересечения подпространств. Отображение, двойственное к гомоморфизму коалгебр. Двухсторонний коидеал не обязательно является односторонним. Пересечение коидеалов не обязательно является коидеалом. |
| | Коалгебра $A^\circ$, конечная двойственная к алгебре $A$. Модули над алгебрами. Критерий принадлежности элемента из $A^*$ коалгебре $A^\circ$. |
| | Пример тривиальной конечной двойственной. Аннуляторы к подкоалгебрам, односторонним и двухсторонним коидеалам в $A^\circ$. |
| |
| (Продолжение следует.) | (Продолжение следует.) |
| |
| **[[https://disk.yandex.ru/i/lMVIw3yEiUeLjw|Лекции по специальным курсам (в процессе написания)]]** | **[[https://disk.yandex.ru/i/lMVIw3yEiUeLjw|Лекции по специальным курсам (в процессе написания)]]** |
| | |
| | Видеозаписи лекций на сайте teach-in (эти же видео могут быть выложены и на других платформах; чтобы их найти, используйте поиск в интернете): |
| | |
| | **[[https://teach-in.ru/course/Algebri_Khoppha| Алгебры Хопфа (введение; осенний семестр)]]** |
| | |
| |
| __Литература:__ | __Литература:__ |
