Спецкурс «Геометрия определяющих соотношений в группах»
Первая лекция: 14 сентября 2024 в ауд. 1302.
Конечна ли всякая группа с конечным множеством порождающих и тождеством вида x^n=1? В 1968 году П.С. Новиков и С.И.Адян получили отрицательное решение этой знаменитой проблемы, называемой ограниченной проблемой Бернсайда. Данный спецкурс посвящен изучению геометрического метода, разработанного А.Ю. Ольшанским для получения альтернативного доказательства этой теоремы Новикова-Адяна (в случае нечетного n>10^10) и изложенного в [1] (гл.5-6).
- лектор: О.В.Куликова
- для студентов 3-6 курсов, магистры и аспирантов
- полугодовой курс, осень
- сб. 10:45-12:20
- ауд. 1302
Литература:
[1] Ольшанский А.Ю. Геометрия определяющих соотношений в группах.- М.: Наука. Гл. ред.физ.-мат. лит. 1989
Задание на зачет/экзамен:
1. Доказать лемму 15.3 (все случаи).
2. Доказать теорему 17.1 (кольцевой вариант)
3. Доказать, что из условия С(6) следует асферичность.
4. Доказать, что из условия С(7) следует аторичность.
5. Знать основные понятия и построения.
6. Уметь объяснить общую идею доказательства лемм (при подготовке ответа можно использовать материалы).
7. Знать доказательство теорем 19.1, 19.2, 19.3, 19.7 по модулю остальных утверждений.
Лекция 1.
Вводные понятия. Карта. Диаграмма над группами. Лемма ван Кампена. Следствие о сопряженных элементах.
Лекция 2.
Комбинаторно гомотопные пути. 0-измельчение. Устовие малых сокращений. Теорема о существовании «клетки Дэна» (теор. 12.1)
Лекция 3.
Доказательство теоремы 12.1. Определение связок и подкарт примыкания в градуированных
Лекция 4.
Выделенная система подкарт. Построение двойственных графов
Лекция 5.
Теорема 14.1. Графы на поверхности
Лекция 6.
А-карты. Всякая А-карта является правильной (лемма 15.2).
Лекции 7-9.
Свойства А-карт. Существование гамма-клетки. Следствие о подкарте примыкания ранга 0
Лекция 10.
Теорема 17.1. Теорема о бетта-клетке (идея доказательства).
Лекция 11.
Леммы 17.3-17.5. Построение градуированного копредставления для группы Бернсайда. Лемма 18.1. Сократимая пара клеток ранга k.
Лекция 12.
ТВА