Лектор Гордиенко Алексей Сергеевич

Миникурс для выпускников 1-го курса мехмата МГУ, пансионат «Университетский».

Аннотация курса. Аффинное алгебраическое многообразие - это подмножество в аффинном пространстве, заданное системой алгебраических уравнений. При этом на многообразии возникают координаты из объемлющего аффинного пространства. При изучении симметрий многообразий удобно, чтобы группа преобразований также имела структуру аффинного алгебраического многообразия, согласованную с операцией в группе, т.е. была т.н. аффинной алгебраической группой. Примерами аффинных алгебраических групп являются группы SL_n, GL_n, O_n, SO_n. Алгебра регулярных функций (т.е. функций, задаваемых многочленами от координат) O(G) на аффинной алгебраической группе G является т.н. алгеброй Хопфа, т.е. алгеброй, на которой ещё задана структура коалгебры (понятие, двойственное к понятию алгебры над полем) и отображение, называемое антиподом, и все эти структуры определённым образом согласованы. Структура коалгебры на O(G) задаётся операциями умножения в группе и вычисления значения функции в единице группы, а антипод - взятием обратного элемента. При этом, если аффинная алгебраическая группа G действует на аффинном алгебраическом многообразии X, то возникает линейное отображение O(X) → O(X) ⊗ O(G), которое является т.н. кодействием. При этом на O(X) возникают ещё действия двух других алгебр Хопфа: групповой алгебры kG группы G и универсальной обёртывающей U(g) алгебры Ли g группы G. В классической ситуации алгебры O(X) и O(G) коммутативны, а для kG и U(g) выполнено двойственное условие, называемое кокоммутативностью. Если же теперь необязательно (ко)коммутативная алгебра Хопфа (ко)действует на необязательно коммутативной алгебре, то это может быть проинтерпретировано как действие некоторой «квантовой группы» на некотором «некоммутативном пространстве» «квантовыми симметриями». Квантовые группы активно применяются в теоретической физике, например, при получении новых решений квантового уравнения Янга-Бакстера. Задача описания квантовых симметрий оказывается обобщением классических задач описания автоморфизмов, дифференцирований и групповых градуировок на алгебрах. В курсе будут объяснены все непонятные слова и приведены примеры квантовых симметрий.

Литература:

1. Montgomery, S. Hopf algebras and their actions on rings.
2. Dăscălescu, S., Năstăsescu, C., Raianu, Ș. Hopf algebras: an introduction.
3. Abe, E. Hopf algebras.
4. Sweedler, M. Hopf algebras.
5. (Ко)модульные алгебры и их обобщения (рукопись монографии)
6. Majid, S. Foundations of quantum group theory.
7. Хамфри Дж. Линейные алгебраические группы.