Лектор Гордиенко Алексей Сергеевич

Название осеннего семестра Ассоциативные кольца, весеннего семестра - Алгебры Ли.

Годовой спецкурс (два независимых полугодовых спецкурса) для студентов 2-6 курса, магистрантов и аспирантов.

понедельник, 18:30-20:05, ауд. 14-08 (главное здание МГУ), первая лекция 9 февраля 2026 года

среда, 16:45-18:20, ауд. 406 (2-й учебный корпус), в следующие даты: 1, 15, 22, 29 апреля, 6 и 13 мая. ВНИМАНИЕ! В среду 13 мая лекция будет в ГЗ МГУ, ауд. 12-24.

Экзамен по задачам весеннего семестра (спецкурс «Алгебры Ли») состоится 18 мая вместо последней лекции.

Задачи осеннего семестра (спецкурс "Ассоциативные кольца")

Задачи весеннего семестра (спецкурс "Алгебры Ли")

Решённые задачи нужно будет принести в отдельной тонкой тетради. На экзамене будут заданы задачи и вопросы на понимание по программе ниже. Число вопросов и задач будет зависеть от того, насколько много задач вам удастся сделать дома из списка выше, и того, насколько часто я вас видел на лекциях. На экзамене ничем нельзя будет пользоваться, кроме тетради с решёнными задачами.

Аннотация курса. Кольца и алгебры находят своё применение в самых различных областях математики и физики.

В осеннем семестре спецкурс называется «Ассоциативные кольца» и посвящён тем разделам теории ассоциативных колец, которых по причине недостатка времени не удаётся коснуться в общем курсе алгебры. Осенью планируется рассмотреть следующие темы: модули над кольцами, артиновы кольца, радикал Джекобсона, простые и полупростые кольца, теорема плотности, теорема Веддербёрна-Артина. Особое внимание планируется уделить когомологиям Хохшильда и гомологическим методам в теории колец. В частности, при помощи когомологий Хохшильда будет доказана знаменитая теорема Веддербёрна-Мальцева об отщеплении радикала Джекобсона максимальной полупростой подалгеброй.

Весенний семестр (изложение будет вестись независимо от осеннего семестра) будет посвящён алгебрам Ли. Алгебры Ли находят своё применение в механике, физике, геометрии и дифференциальных уравнениях. С алгебрами Ли мы впервые знакомимся на первом курсе, изучая векторное произведение векторов, относительно которого векторы трёхмерного пространства и образуют алгебру Ли. Также любую ассоциативную алгебру можно превратить в алгебру Ли относительно коммутатора $[a,b]:=ab-ba$. В курсе планируется рассмотреть следующие темы: теоремы Энгеля и Ли, простые и полупростые алгебры Ли, форма Киллинга, критерий Картана, системы корней, диаграммы Дынкина, разрешимый и нильпотентный радикалы, подалгебра Картана, универсальная обёртывающая алгебра алгебры Ли, теорема Пуанкаре–Биркгофа–Витта, леммы Уайтхеда, теорема Вейля. Особое внимание планируется уделить когомологиям алгебр Ли и гомологическим методам. В частности, при помощи когомологий алгебр Ли будет доказана знаменитая теорема Леви–Мальцева об отщеплении разрешимого радикала максимальной полупростой подалгеброй.

Благодарности: чтение спецкурса в осеннем и весеннем семестрах поддержано фондом БАЗИС.

1) 08.09.2025. Кольцо, ассоциативное кольцо. Кольцо с единицей. Левые и правые модули над кольцом.

Упражнение. Проверить равенства $0_A m = 0_M$ и $a 0_M = 0_M$, где $a$ - произвольный элемент кольца $A$, а $m$ - произвольный элемент левого $A$-модуля $M$.

Гомоморфизм колец, гомоморфизм модулей. Подмодули. Прямая сумма и прямое произведение модулей. Модули над кольцом с единицей. Присоединение к кольцу единицы. Левые, правые и двухсторонние идеалы. Факторкольцо.

Упражнение. Показать, что структура кольца на факторкольце введена корректно.

Теорема о гомоморфизме колец. Фактормодуль.

Упражнение. Сформулировать и доказать теорему о гомоморфизме модулей.

2) 15.09.2025. Пример ненильпотентного ниль-кольца. Неприводимые (простые) и вполне приводимые (полупростые) модули. Аннулятор модуля. Радикал Джекобсона. Регулярные левые идеалы. Частично упорядоченные множества. Лемма Цорна. Звёздное произведение. Различные характеризации радикала Джекобсона. Радикальная группа. Левый и правый радикалы Джекобсона совпадают.

3) 22.09.2025. Характеризация элементов $j$ радикала Джекобсона в кольцах с единицей в терминах обратимости элементов вида $(1+rj)$. Радикалы Джекобсона алгебры как кольца и как алгебры совпадают. Полупростые кольца. Радикал Джекобсона идеала.

Упражнение. Сохраняется ли радикал Джекобсона при сюръективных гомоморфизмах колец?

Простое кольцо. Простое кольцо с 1 полупросто. Примеры вычисления радикала Джекобсона: кольцо всех квадратных матриц над полем, кольцо верхнетреугольных матриц.

4) 29.09.2025. Артиновы и нётеровы кольца. Пример кольца артинова слева, но не артинова справа. Нильпотентность радикала Джекобсона в артиновых кольцах (и алгебрах). Групповые алгебры. Теорема Машке (в терминах радикала Джекобсона). Идемпотенты. Минимальный левый идеал в кольце, не содержащем ненулевых нильпотентных идеалов, порождается идемпотентом.

5) 06.10.2025. Поднятие идемпотентов по модулю ниль-идеала. Односторонние идеалы в полупростых артиновых кольцах порождаются идемпотентами, а двухсторонние - центральными идемпотентами. Существование единицы в полупростом артиновом кольце. Прямое произведение колец. Теорема Веддербёрна - Артина: разложение полупростого артинова кольца в (конечное) прямое произведение своих минимальных идеалов, которые являются простыми артиновыми кольцами. Свойство отщепляемости для вполне приводимых модулей.

6) 13.10.2025. Теорема плотности. Примитивные кольца. Тела. Кольцо эндоморфизмов неприводимого модуля - тело. Линейная алгебра над телами. Теорема Веддербёрна - Артина: простое артиново кольцо изоморфно кольцу квадратных матриц над телом. Случай конечномерных алгебр, в т.ч. над алгебраически замкнутыми полями. Алгебры с 1.

7) 20.10.2025. Связь разных понятий полупростоты. Теорема Жордана - Гёльдера (напоминание; хотя в конце концов поняли, что нам нужна теорема Шрейера, см. Ленг С. Алгебра). Композиционные ряды. Теорема Акицуки - Хопкинса - Левицкого: из артиновости следует нётеровость. Алгебраические и трансцендентные элементы. Конечные расширения полей. Сепарабельные расширения полей. Пример несепарабельного расширения.

8) 27.10.2025. Проективные модули. Свободные модули. Тензорное произведение модулей. Сепарабельные алгебры над коммутативным кольцом с 1. Эквивалентные определения. Сепарирующий идемпотент.

01.11.2025, 03.11.2025.

9) 10.11.2025. Сепарирующий идемпотент и его свойства. Примеры сепарабельных алгебр. Конечная порождённость как $R$-модулей сепарабельных $R$-алгебр, проективных как $R$-модулей, где $R$ — коммутативное кольцо с $1$. Категории и функторы. Точные последовательности.

Упражнение. Функтор $\mathrm{Hom}_A(M,-) \colon {}_A\mathbf{Mod} \to \mathbf{Ab}$ точен слева для любого модуля $M$ над кольцом $A$. Этот функтор точен, если и только если $M$ проективен.

10) 12.11.2025. Свойство отщепляемости и полная приводимость модуля. Функтор $M \mapsto M^{(A)}$. Естественные преобразования функторов. Сепарабельность алгебры над полем влечёт полупростоту.

11) 17.11.2025. Сепарабельность гомоморфных образов, прямых и тензорных произведений сепарабельных алгебр. Сепарабельность и расширение кольца скаляров. Сепарабельность над подкольцами. Построение алгебраически замкнутого алгебраического расширения для произвольного поля.

12) 19.11.2025. Алгебра над полем сепарабельна, если и только если она полупроста и остаётся таковой при произвольном расширении основного поля. Теорема о примитивном элементе (без доказательства). Сепарабельные расширения как сепарабельные алгебры. Центр простой алгебры - поле. Тензорное произведение простой алгебры и центральной простой алгебры. Сепарабельность конечномерных полупростых алгебр над совершенными полями (начали).

13) 24.11.2025. Сепарабельность конечномерных полупростых алгебр над совершенными полями (закончили). Комплéксы. (Ко)циклы и (ко)границы. (Ко)гомологии. Когомологии Хохшильда. Связь с когомологиями групп. Группы когомологий малой размерности. Алгебры, чьи первые когомологии нулевые, - это в точности сепарабельные алгебры (доказали лемму).

14) 26.11.2025. Алгебры, чьи первые когомологии нулевые, - это в точности сепарабельные алгебры (завершили доказательство). Размерность Хохшильда. Проективные резольвенты. Производные функторы. Длинная точная последовательность.

Упражнение. Функтор $\mathrm{Hom}_A(-,M)$ точен справа как функтор ${}_A \mathbf{Mod} \to \mathbf{Ab}^\mathrm{op}$ для любого модуля $M$ над ассоциативным кольцом $A$.

Функтор $\mathrm{Ext}$. Сопряженные функторы. Бар-комплекс. Связь функтора $\mathrm{Ext}$ и когомологий Хохшильда (начали).

15) 01.12.2025. Цепные гомотопии. Связь функтора $\mathrm{Ext}$ и когомологий Хохшильда (закончили). Алгебры размерности Хохшильда $0$ - это в точности сепарабельные алгебры.

16) 08.12.2025. Расширения Хохшильда алгебр. Группа $H_R^2(A;M)$. Теорема Веддербёрна-Мальцева (начали доказывать).

17) 10.12.2025. Теорема Веддербёрна-Мальцева (закончили). Случай колец без единицы. Точная длинная последовательность для когомологий Хохшильда. (Два достаточных условия.) Глобальная размерность. Кольца глобальной размерности 0 - это в точности артиновы полупростые кольца. Гомологии Хохшильда.

Темы, которые мы разобрать не успели: связь гомологий Хохшильда с функтором $\mathrm{Tor}$, кэлеровы дифференциалы.

15.12.2025. Экзамен по задачам осеннего семестра (спецкурс «Ассоциативные кольца»).

18) 09.02.2026. Организационные вопросы. Алгебры Ли. Разные определения антикоммутативности.

Упражнение. Проверить тождество Якоби для векторного произведения векторов - направленных отрезков.

Упражнение. Показать, что любую ассоциативную алгебру можно превратить в алгебру Ли относительно коммутатора [a,b]:=ab-ba.

Дифференцирования. Внутренние дифференцирования.

Упражнение. Как устроены дифференцирования кольца многочленов от n переменных над произвольным полем?

Алгебра Ли дифференцирований произвольной алгебры. Гомоморфизмы, идеалы, центр алгебры Ли.

Упражнение. Сформулировать и доказать теорему о гомоморфизме для алгебр Ли.

Упражнение. Доказать теоремы об изоморфизме для алгебр Ли.

Гомоморфизм ad.

Упражнение. Показать, что внутренние дифференцирования образуют идеал в алгебре Ли всех дифференцирований.

Простые алгебры Ли. Коммутант. Абелевы алгебры Ли. Разрешимые алгебры Ли.

19) 16.02.2026. Значение дифференцирования на единице алгебры с единицей. Представление алгебр Ли. Модули над алгебрами Ли.

Упражнение. Покажите, что алгебра Ли верхнетреугольных матриц разрешима.

Разрешимый радикал.

Упражнение. Пусть $L$ — конечномерная алгебра Ли. Тогда факторалгебра $L/\mathrm{Rad}\ L$ полупроста.

Нильпотентные алгебры Ли.

Упражнение. В любой алгебре Ли произвольный длинный коммутатор представляется в виде целочисленной линейной комбинации левонормированных коммутаторов.

Упражнение. Сумма двух нильпотентных идеалов нильпотентна.

Теорема Энгеля.

20) 02.03.2026. Теорема Ли. Нильпотентность коммутанта конечномерной разрешимой алгебры Ли. Разложение Жордана-Шевалле.

21) 16.03.2026. Критерий Картана разрешимости алгебры Ли. Форма Киллинга. Критерий Картана полупростоты алгебры Ли. Разложение полупростых алгебр Ли в прямую сумму идеалов, являющихся простыми алгебрами Ли.

22) 23.03.2026. Единственность такого разложения. Все дифференцирования полупростых алгебр Ли - внутренние. Универсальные обёртывающие алгебр Ли. Свободные и тензорные алгебры. Соответствующие пары сопряжённых функторов. Существование универсальных обертывающих. Частично, линейно и вполне упорядоченные множества. Теорема Цермело (без доказательства). Симметрические алгебры. Универсальные обёртывающие абелевых алгебр Ли.

23) 30.03.2026. Теорема Пуанкаре-Биркгофа-Витта. Свободная алгебра Ли.

24) 01.04.2026. Свободная ассоциативная алгебра как универсальная обёртывающая свободной алгебры Ли. Когомологии алгебр Ли: определение через явное описание коцепей.

Упражнение. Дифференциал коцепи является кососимметрическим полилинейным отображением.

25) 06.04.2026. Закончили доказательство того, что $d^2=0$. Модули над ассоциативными алгебрами с единицей. Связь представлений алгебры Ли и модулей над её универсальной обёртывающей. Неприводимые и вполне приводимые модули. Свойство отщепляемости. Группа $H^0$. Группа $H^1$ и дифференцирования.

26) 13.04.2026. Группа $H^1$, свойство отщепляемости и полная приводимость модулей.

27) 15.04.2026. Группа $H^2$ и расширения алгебр Ли с абелевым ядром. Центральные расширения.

28) 20.04.2026. Закончили классификацию расширений алгебр Ли с абелевым ядром при помощи группы $H^2$. Элемент Казимира. Теорема Вейля.

29) 22.04.2026. Разобрались, в каких теоремах важна алгебраическая замкнутость поля: важна - теорема Ли, лемма Шура, существование разложения Жордана - Шевалле. Неважна - критерии Картана, разложение полупростой алгебры Ли в прямую сумму идеалов, являющихся простыми подалгебрами. Разобрали трюк с расширением основного поля до алгебраически замкнутого: при таком трюке сохраняются коммутанты, разрешимость, нильпотентность, след, матрица формы Киллинга и её свойства. Достаточно применить этот трюк в доказательстве критерия Картана разрешимости, а дальше всё работает. Элемент Казимира не зависит от выбора базиса. Пример: элемент Казимира «тавтологического» представления алгебры Ли $\mathfrak{sl}_2(\mathbb k)$ на двумерном пространстве. Закончили негомологическое доказательство теоремы Вейля (в случае алгебраически замкнутого поля). Доказали лемму, необходимую для доказательства теоремы Картана о неприводимых подалгебрах. (На самом деле доказательство этой леммы у нас уже было в составе леммы перед теоремой Ли.) Примечание: на этой лекции видеосъёмка не велась. Видеозапись лекции будет сделана к концу мая.

30) 27.04.2026. Теорема Картана о неприводимых подалгебрах. Включение $[L,L]\cap R(L) \subseteq N(L)$. (В текстах лекций эти утверждения находятся сразу после теоремы Ли.) Комплекс Шевалле-Эйленберга. Его вложение в бар-комплекс универсальной обёртывающей алгебры.

31) 29.04.2026. Комплекс Кошуля. Его ацикличность. Ацикличность комплекса Шевалле-Эйленберга. Свободные и проективные модули и резольвенты. Функтор $\mathrm{Ext}$. Связь функтора $\mathrm{Ext}$ для универсальной обёртывающей алгебры и когомологий алгебры Ли (начали).

32) 04.05.2026. Инъективные модули. Связь функтора Ext для универсальной обёртывающей алгебры и когомологий алгебры Ли (в т.ч. упражение 7.3.5 из книги Weibel). Теорема Уайтхеда о равенстве нулю когомологий с коэффициентами в нетривиальном неприводимом модуле (доказали пока только в случае алгебраически замкнутого поля). Первая лемма Уайтхеда. Гомологическое доказательство теоремы Вейля.

33) 06.05.2026. Доказательство теоремы Уайтхеда о равенстве нулю когомологий с коэффициентами в нетривиальном неприводимом модуле в общем случае. Критерии полупростоты алгебры Ли в терминах полной приводимости и в терминах первой группы когомологий. Вторая лемма Уайтхеда.

(Продолжение следует.)

Лекции по алгебрам Ли

Видеозаписи лекций на сайте teach-in (эти же видео выложены на многих других платформах; чтобы их найти, используйте поиск в интернете):

Ассоциативные кольца (осенний семестр)

Алгебры Ли (весенний семестр)

Литература:

1. Херстейн И. Некоммутативные кольца.
2. Пирс Р. Ассоциативные алгебры.
3. Weibel, C.A. Introduction to homological algebra. Опечатки.
4. Ленг С. Алгебра.
5. Хамфрис Дж. Введение в теорию алгебр Ли и их представлений.
6. Гото М., Гроссханс Ф. Полупростые алгебры Ли.
7. Постников М.М. Лекции по геометрии. Семестр V. Группы и алгебры Ли.