Различия

Показаны различия между двумя версиями страницы.

--- s_k_rings_and_algebras_2025_2026 [29.08.2025 17:08]
gordienko
+++ s_k_rings_and_algebras_2025_2026 [16.10.2025 21:34] (текущий)
gordienko
@@ Строка 6: / Строка 6: @@
 Годовой (но можно сдавать и полгода) спецкурс для студентов 2-6 курса, магистрантов и аспирантов.
-**понедельник**, **18:30-20:05**, ауд. **14-08** (главное здание МГУ), первая лекция **8 сентября 2025 года**.
+**понедельник**, **18:30-20:05**, ауд. **14-08** (главное здание МГУ), первая лекция **8 сентября 2025 года**
+**среда**, **16:45-18:20**, ауд. станет известна позднее, в следующие даты: **12, 19, 26 ноября** и (возможно, если 3 ноября не будет лекции) **10 декабря**.
+Экзамен по задачам осеннего семестра состоится **15 декабря** вместо последней лекции.
 __Аннотация курса.__ Кольца и алгебры находят своё применение в самых различных областях математики и физики. В осеннем семестре спецкурс называется "Ассоциативные кольца" и посвящён тем разделам теории ассоциативных колец, которых по причине недостатка времени не удаётся коснуться в общем курсе алгебры. Осенью планируется рассмотреть следующие темы: модули над кольцами, артиновы кольца, радикал Джекобсона, простые и полупростые кольца, теорема плотности, теорема Веддербёрна-Артина. Особое внимание планируется уделить когомологиям Хохшильда и гомологическим методам в теории колец. В частности, при помощи когомологий Хохшильда будет доказана знаменитая теорема Веддербёрна-Мальцева об отщеплении радикала Джекобсона максимальной полупростой подалгеброй. Весенний семестр будет посвящён алгебрам Ли.
+__Благодарности:__ чтение спецкурса в осеннем семестре поддержано фондом БАЗИС.
+) **08.09.2025.** Кольцо, ассоциативное кольцо. Кольцо с единицей. Левые и правые модули над кольцом.
+__Упражнение.__ Проверить равенства 0_R m = 0_M  и r 0_M = 0_M, где r - произвольный элемент кольца R, а m - произвольный элемент левого R-модуля M.
+Гомоморфизм колец, гомоморфизм модулей. Подмодули. Прямая сумма и прямое произведение модулей. Модули над кольцом с единицей. Присоединение к кольцу единицы. Левые, правые и двухсторонние идеалы. Факторкольцо.
+__Упражнение.__ Показать корректность определения кольца.
+Теорема о гомоморфизме колец. Фактормодуль.
+__Упражнение.__ Сформулировать и доказать теорему о гомоморфизме модулей.
+) **15.09.2025.** Пример ненильпотентного ниль-кольца.
+Неприводимые (простые) и вполне приводимые (полупростые) модули.
+Аннулятор модуля. Радикал Джекобсона. Регулярные левые идеалы. Частично упорядоченные множества. Лемма Цорна. Звёздное произведение. Различные характеризации радикала Джекобсона. Радикальная группа. Левый и правый радикалы Джекобсона совпадают.
+) **22.09.2025.** Характеризация элементов j радикала Джекобсона в кольцах с единицей в терминах обратимости элементов вида (1+rj).  Радикалы Джекобсона алгебры как кольца и как алгебры совпадают. Полупростые кольца. Радикал Джекобсона идеала.
+__Упражнение.__ Сохраняется ли радикал Джекобсона при сюръективных гомоморфизмах колец?
+Простое кольцо. Простое кольцо с 1 полупросто. Примеры вычисления радикала Джекобсона: кольцо всех квадратных матриц над полем, кольцо верхнетреугольных матриц.
+) **29.09.2025.** Артиновы и нётеровы кольца. Пример кольца артинова слева, но не артинова справа. Нильпотентность радикала Джекобсона в артиновых кольцах (и алгебрах). Групповые алгебры. Теорема Машке (в терминах радикала Джекобсона). Идемпотенты. Минимальный левый идеал в кольце, не содержащем ненулевых нильпотентных идеалов, порождается идемпотентом.
+) **06.10.2025.** Поднятие идемпотентов по модулю ниль-идеала. Односторонние идеалы в полупростых артиновых кольцах порождаются идемпотентами, а двухсторонние - центральными идемпотентами. Существование единицы в полупростом артиновом кольце. Прямое произведение колец. Теорема Веддербёрна -  Артина: разложение полупростого артинова кольца в (конечное) прямое произведение своих минимальных идеалов, которые являются простыми артиновыми кольцами. Свойство отщепляемости для вполне приводимых модулей.
+) **13.10.2025.** Теорема плотности. Примитивные кольца. Тела. Кольцо эндоморфизмов неприводимого модуля - тело. Линейная алгебра над телами. Теорема Веддербёрна - Артина: простое артиново кольцо изоморфно кольцу квадратных матриц над телом. Случай конечномерных алгебр, в т.ч. над алгебраически замкнутыми полями. Алгебры с 1.
 __Литература:__