Различия

Показаны различия между двумя версиями страницы.

--- s_k_rings_and_algebras_2025_2026 [20.10.2025 22:45]
gordienko
+++ s_k_rings_and_algebras_2025_2026 [02.12.2025 12:31] (текущий)
gordienko
@@ Строка 4: / Строка 4: @@
 Название осеннего семестра **Ассоциативные кольца**, весеннего семестра - **Алгебры Ли**.
-Годовой (но можно сдавать и полгода) спецкурс для студентов 2-6 курса, магистрантов и аспирантов.
+Годовой спецкурс (два независимых полугодовых спецкурса) для студентов 2-6 курса, магистрантов и аспирантов.
 **понедельник**, **18:30-20:05**, ауд. **14-08** (главное здание МГУ), первая лекция **8 сентября 2025 года**
-**среда**, **16:45-18:20**, ауд. станет известна позднее, в следующие даты: **12, 19, 26 ноября** и (возможно, если 3 ноября не будет лекции) **10 декабря**.
+**среда**, **16:45-18:20**, ауд. **405** (2-й учебный корпус), в следующие даты: **12, 19, 26 ноября** и **10 декабря**.
-Экзамен по задачам осеннего семестра состоится **15 декабря** вместо последней лекции.
+Экзамен по задачам осеннего семестра (спецкурс "Ассоциативные кольца") состоится **15 декабря** вместо последней лекции.
-__Аннотация курса.__ Кольца и алгебры находят своё применение в самых различных областях математики и физики. В осеннем семестре спецкурс называется "Ассоциативные кольца" и посвящён тем разделам теории ассоциативных колец, которых по причине недостатка времени не удаётся коснуться в общем курсе алгебры. Осенью планируется рассмотреть следующие темы: модули над кольцами, артиновы кольца, радикал Джекобсона, простые и полупростые кольца, теорема плотности, теорема Веддербёрна-Артина. Особое внимание планируется уделить когомологиям Хохшильда и гомологическим методам в теории колец. В частности, при помощи когомологий Хохшильда будет доказана знаменитая теорема Веддербёрна-Мальцева об отщеплении радикала Джекобсона максимальной полупростой подалгеброй. Весенний семестр будет посвящён алгебрам Ли.
+**[[https://disk.yandex.ru/i/ch5h4BeXRPmbfw|Задачи осеннего семестра (спецкурс "Ассоциативные кольца")]]**
+Решённые задачи нужно будет принести в **отдельной** тонкой тетради. На экзамене будут заданы задачи и вопросы на понимание по программе ниже. Число вопросов и задач будет зависеть от того, насколько много задач вам удастся сделать дома из списка выше, и того, насколько часто я вас видел на лекциях. На экзамене ничем нельзя будет пользоваться, кроме тетради с решёнными задачами.
+__Аннотация курса.__ Кольца и алгебры находят своё применение в самых различных областях математики и физики.
+В осеннем семестре спецкурс называется "Ассоциативные кольца" и посвящён тем разделам теории ассоциативных колец, которых по причине недостатка времени не удаётся коснуться в общем курсе алгебры. Осенью планируется рассмотреть следующие темы: модули над кольцами, артиновы кольца, радикал Джекобсона, простые и полупростые кольца, теорема плотности, теорема Веддербёрна-Артина. Особое внимание планируется уделить когомологиям Хохшильда и гомологическим методам в теории колец. В частности, при помощи когомологий Хохшильда будет доказана знаменитая теорема Веддербёрна-Мальцева об отщеплении радикала Джекобсона максимальной полупростой подалгеброй.
+Весенний семестр (изложение будет вестись независимо от осеннего семестра) будет посвящён алгебрам Ли. Алгебры Ли находят своё применение в механике, физике, геометрии и дифференциальных уравнениях. С алгебрами Ли мы впервые знакомимся на первом курсе, изучая векторное произведение векторов, относительно которого векторы трёхмерного пространства и образуют алгебру Ли. Также любую ассоциативную алгебру можно превратить в алгебру Ли относительно коммутатора $[a,b]:=ab-ba$.	В курсе планируется рассмотреть следующие темы: теоремы Энгеля и Ли, простые и полупростые алгебры Ли, форма Киллинга, критерий Картана, системы корней, диаграммы Дынкина, разрешимый и нильпотентный радикалы, подалгебра Картана, универсальная обёртывающая алгебра алгебры Ли, теорема Пуанкаре--Биркгофа--Витта, леммы Уайтхеда, теорема Вейля. Особое внимание планируется уделить когомологиям алгебр Ли и гомологическим методам. В частности, при помощи когомологий алгебр Ли будет доказана знаменитая теорема Леви--Мальцева об отщеплении разрешимого радикала максимальной полупростой подалгеброй.
 __Благодарности:__ чтение спецкурса в осеннем семестре поддержано фондом БАЗИС.
@@ Строка 18: / Строка 26: @@
 ) **08.09.2025.** Кольцо, ассоциативное кольцо. Кольцо с единицей. Левые и правые модули над кольцом.
-__Упражнение.__ Проверить равенства 0_R m = 0_M  и r 0_M = 0_M, где r - произвольный элемент кольца R, а m - произвольный элемент левого R-модуля M.
+__Упражнение.__ Проверить равенства $0_A m = 0_M$  и $a 0_M = 0_M$, где $a$ - произвольный элемент кольца $A$, а $m$ - произвольный элемент левого $A$-модуля $M$.
 Гомоморфизм колец, гомоморфизм модулей. Подмодули. Прямая сумма и прямое произведение модулей. Модули над кольцом с единицей. Присоединение к кольцу единицы. Левые, правые и двухсторонние идеалы. Факторкольцо.
-__Упражнение.__ Показать корректность определения кольца.
+__Упражнение.__ Показать, что структура кольца на факторкольце введена корректно.
 Теорема о гомоморфизме колец. Фактормодуль.
@@ Строка 32: / Строка 40: @@
 Аннулятор модуля. Радикал Джекобсона. Регулярные левые идеалы. Частично упорядоченные множества. Лемма Цорна. Звёздное произведение. Различные характеризации радикала Джекобсона. Радикальная группа. Левый и правый радикалы Джекобсона совпадают.
-) **22.09.2025.** Характеризация элементов j радикала Джекобсона в кольцах с единицей в терминах обратимости элементов вида (1+rj).  Радикалы Джекобсона алгебры как кольца и как алгебры совпадают. Полупростые кольца. Радикал Джекобсона идеала.
+) **22.09.2025.** Характеризация элементов $j$ радикала Джекобсона в кольцах с единицей в терминах обратимости элементов вида $(1+rj)$.  Радикалы Джекобсона алгебры как кольца и как алгебры совпадают. Полупростые кольца. Радикал Джекобсона идеала.
 __Упражнение.__ Сохраняется ли радикал Джекобсона при сюръективных гомоморфизмах колец?
@@ Строка 45: / Строка 53: @@
 ) **20.10.2025.** Связь разных понятий полупростоты.
-Теорема Жордана - Гёльдера (напоминание; хотя в конце концов поняли, что нам нужна теорема Шрейера). Композиционные ряды. Теорема Акицуки - Хопкинса - Левицкого: из артиновости следует нётеровость. Алгебраические и трансцендентные элементы. Конечные расширения полей. Сепарабельные расширения полей. Пример несепарабельного расширения.
+Теорема Жордана - Гёльдера (напоминание; хотя в конце концов поняли, что нам нужна теорема Шрейера, см. Ленг С. Алгебра). Композиционные ряды. Теорема Акицуки - Хопкинса - Левицкого: из артиновости следует нётеровость. Алгебраические и трансцендентные элементы. Конечные расширения полей. Сепарабельные расширения полей. Пример несепарабельного расширения.
+) **27.10.2025.** Проективные модули. Свободные модули. Тензорное произведение модулей. Сепарабельные алгебры над коммутативным кольцом с 1. Эквивалентные определения. Сепарирующий идемпотент.
+**<del>01.11.2025</del>**, **<del>03.11.2025</del>**.
+) **10.11.2025.** Сепарирующий идемпотент и его свойства. Примеры сепарабельных алгебр. Конечная порождённость как $R$-модулей сепарабельных $R$-алгебр, проективных как $R$-модулей, где $R$ --- коммутативное кольцо с $1$. Категории и функторы. Точные последовательности.
+__Упражнение.__ Функтор $\mathrm{Hom}_A(M,-) \colon {}_A\mathbf{Mod} \to \mathbf{Ab}$ точен слева для любого модуля $M$ над кольцом $A$. Этот функтор точен, если и только если $M$ проективен.
+) **12.11.2025.** Свойство отщепляемости и полная приводимость модуля.
+Функтор $M \mapsto M^{(A)}$. Естественные преобразования функторов. Сепарабельность алгебры над полем влечёт полупростоту.
+) **17.11.2025.** Сепарабельность гомоморфных образов, прямых и тензорных произведений сепарабельных алгебр. Сепарабельность и расширение кольца скаляров. Сепарабельность над подкольцами. Построение алгебраически замкнутого алгебраического расширения для произвольного поля.
+) **19.11.2025.** Алгебра над полем сепарабельна, если и только если она полупроста и остаётся таковой при произвольном расширении основного поля.
+Теорема о примитивном элементе (без доказательства).
+Сепарабельные расширения как сепарабельные алгебры.
+Центр простой алгебры - поле. Тензорное произведение простой алгебры и центральной простой алгебры. Сепарабельность конечномерных полупростых алгебр над совершенными полями (начали).
+) **24.11.2025.** Сепарабельность конечномерных полупростых алгебр над совершенными полями (закончили). Комплéксы. (Ко)циклы и (ко)границы. (Ко)гомологии.
+Когомологии Хохшильда. Связь с когомологиями групп. Группы когомологий малой размерности.
+Алгебры, чьи первые когомологии  нулевые, - это в точности сепарабельные алгебры (доказали лемму).
+) **26.11.2025**. Алгебры, чьи первые когомологии нулевые, - это в точности сепарабельные алгебры (завершили доказательство). Размерность Хохшильда. Проективные резольвенты. Производные функторы. Длинная точная последовательность.
+__Упражнение.__ Функтор $\mathrm{Hom}_A(-,M)$ точен справа как функтор ${}_A \mathbf{Mod} \to \mathbf{Ab}^\mathrm{op}$  для любого модуля $M$ над ассоциативным кольцом $A$.
+Функтор $\mathrm{Ext}$. Сопряженные функторы. Бар-комплекс. Связь функтора $\mathrm{Ext}$ и когомологий Хохшильда (начали).
+) **01.12.2025**.
+Цепные гомотопии. Связь функтора $\mathrm{Ext}$ и когомологий Хохшильда (закончили). Алгебры размерности Хохшильда $0$ - это в точности сепарабельные алгебры.
 __Литература:__
@@ Строка 51: / Строка 92: @@
   -   Пирс Р. Ассоциативные алгебры.
   -  Weibel, C.A. Introduction to homological algebra. [[https://sites.math.rutgers.edu/~weibel/Hbook-corrections.html|Опечатки.]]
+  - Ленг С. Алгебра.
   -   Хамфрис Дж. Введение в теорию алгебр Ли и их представлений.
   - Гото М., Гроссханс Ф. Полупростые алгебры Ли.