Различия

Показаны различия между двумя версиями страницы.

--- s_k_rings_and_algebras_2025_2026 [23.11.2025 21:55]
gordienko
+++ s_k_rings_and_algebras_2025_2026 [16.01.2026 19:57] (текущий)
gordienko
@@ Строка 10: / Строка 10: @@
 **среда**, **16:45-18:20**, ауд. **405** (2-й учебный корпус), в следующие даты: **12, 19, 26 ноября** и **10 декабря**.
-Экзамен по задачам осеннего семестра состоится **15 декабря** вместо последней лекции.
+Экзамен по задачам осеннего семестра (спецкурс "Ассоциативные кольца") состоится **15 декабря** вместо последней лекции.
+**[[https://disk.yandex.ru/i/ch5h4BeXRPmbfw|Задачи осеннего семестра (спецкурс "Ассоциативные кольца")]]**
+Решённые задачи нужно будет принести в **отдельной** тонкой тетради. На экзамене будут заданы задачи и вопросы на понимание по программе ниже. Число вопросов и задач будет зависеть от того, насколько много задач вам удастся сделать дома из списка выше, и того, насколько часто я вас видел на лекциях. На экзамене ничем нельзя будет пользоваться, кроме тетради с решёнными задачами.
 __Аннотация курса.__ Кольца и алгебры находят своё применение в самых различных областях математики и физики.
@@ Строка 18: / Строка 22: @@
 Весенний семестр (изложение будет вестись независимо от осеннего семестра) будет посвящён алгебрам Ли. Алгебры Ли находят своё применение в механике, физике, геометрии и дифференциальных уравнениях. С алгебрами Ли мы впервые знакомимся на первом курсе, изучая векторное произведение векторов, относительно которого векторы трёхмерного пространства и образуют алгебру Ли. Также любую ассоциативную алгебру можно превратить в алгебру Ли относительно коммутатора $[a,b]:=ab-ba$.	В курсе планируется рассмотреть следующие темы: теоремы Энгеля и Ли, простые и полупростые алгебры Ли, форма Киллинга, критерий Картана, системы корней, диаграммы Дынкина, разрешимый и нильпотентный радикалы, подалгебра Картана, универсальная обёртывающая алгебра алгебры Ли, теорема Пуанкаре--Биркгофа--Витта, леммы Уайтхеда, теорема Вейля. Особое внимание планируется уделить когомологиям алгебр Ли и гомологическим методам. В частности, при помощи когомологий алгебр Ли будет доказана знаменитая теорема Леви--Мальцева об отщеплении разрешимого радикала максимальной полупростой подалгеброй.
-__Благодарности:__ чтение спецкурса в осеннем семестре поддержано фондом БАЗИС.
+__Благодарности:__ чтение спецкурса в осеннем и весеннем семестрах поддержано фондом БАЗИС.
 ) **08.09.2025.** Кольцо, ассоциативное кольцо. Кольцо с единицей. Левые и правые модули над кольцом.
@@ Строка 57: / Строка 61: @@
 ) **10.11.2025.** Сепарирующий идемпотент и его свойства. Примеры сепарабельных алгебр. Конечная порождённость как $R$-модулей сепарабельных $R$-алгебр, проективных как $R$-модулей, где $R$ --- коммутативное кольцо с $1$. Категории и функторы. Точные последовательности.
-__Упражнение.__ Функтор $\mathrm{Hom}_A(M,-)$ точен слева для любого модуля $M$ над кольцом $A$. Этот функтор точен, если и только если $M$ проективен.
+__Упражнение.__ Функтор $\mathrm{Hom}_A(M,-) \colon {}_A\mathbf{Mod} \to \mathbf{Ab}$ точен слева для любого модуля $M$ над кольцом $A$. Этот функтор точен, если и только если $M$ проективен.
 ) **12.11.2025.** Свойство отщепляемости и полная приводимость модуля.
@@ Строка 63: / Строка 67: @@
 ) **17.11.2025.** Сепарабельность гомоморфных образов, прямых и тензорных произведений сепарабельных алгебр. Сепарабельность и расширение кольца скаляров. Сепарабельность над подкольцами. Построение алгебраически замкнутого алгебраического расширения для произвольного поля.
+) **19.11.2025.** Алгебра над полем сепарабельна, если и только если она полупроста и остаётся таковой при произвольном расширении основного поля.
+Теорема о примитивном элементе (без доказательства).
+Сепарабельные расширения как сепарабельные алгебры.
+Центр простой алгебры - поле. Тензорное произведение простой алгебры и центральной простой алгебры. Сепарабельность конечномерных полупростых алгебр над совершенными полями (начали).
+) **24.11.2025.** Сепарабельность конечномерных полупростых алгебр над совершенными полями (закончили). Комплéксы. (Ко)циклы и (ко)границы. (Ко)гомологии.
+Когомологии Хохшильда. Связь с когомологиями групп. Группы когомологий малой размерности.
+Алгебры, чьи первые когомологии  нулевые, - это в точности сепарабельные алгебры (доказали лемму).
+) **26.11.2025**. Алгебры, чьи первые когомологии нулевые, - это в точности сепарабельные алгебры (завершили доказательство). Размерность Хохшильда. Проективные резольвенты. Производные функторы. Длинная точная последовательность.
+__Упражнение.__ Функтор $\mathrm{Hom}_A(-,M)$ точен справа как функтор ${}_A \mathbf{Mod} \to \mathbf{Ab}^\mathrm{op}$  для любого модуля $M$ над ассоциативным кольцом $A$.
+Функтор $\mathrm{Ext}$. Сопряженные функторы. Бар-комплекс. Связь функтора $\mathrm{Ext}$ и когомологий Хохшильда (начали).
+) **01.12.2025**.
+Цепные гомотопии. Связь функтора $\mathrm{Ext}$ и когомологий Хохшильда (закончили). Алгебры размерности Хохшильда $0$ - это в точности сепарабельные алгебры.
+) **08.12.2025**. Расширения Хохшильда алгебр. Группа $H_R^2(A;M)$. Теорема Веддербёрна-Мальцева (начали доказывать).
+) **10.12.2025**. Теорема Веддербёрна-Мальцева (закончили). Случай колец без единицы.
+Точная длинная последовательность для когомологий Хохшильда. (Два достаточных условия.)
+Глобальная размерность. Кольца глобальной размерности 0 - это в точности артиновы полупростые кольца. Гомологии Хохшильда.
+Темы, которые мы разобрать **не успели**: связь гомологий Хохшильда с функтором $\mathrm{Tor}$, кэлеровы дифференциалы.
+**15.12.2025**. Экзамен по задачам осеннего семестра (спецкурс "Ассоциативные кольца").
+**[[https://teach-in.ru/course/associative-rings|Видеозаписи лекций на сайте teach-in (осенний семестр)]]** (эти же видео выложены на многих других платформах; чтобы их найти, используйте поиск в интернете)
 __Литература:__