• Показать страницу
  • История страницы
  • Ссылки сюда

    • Различия

    Показаны различия между двумя версиями страницы.

    Ссылка на это сравнение

    Предыдущая версия справа и слева Предыдущая версия
    Следующая версия     		Предыдущая версия
    s_k_rings_and_algebras_2025_2026 [08.02.2026 14:33]
    gordienko     		s_k_rings_and_algebras_2025_2026 [17.04.2026 09:44] (текущий)
    gordienko
    Строка 8: Строка 8:
     **понедельник**, **18:30-20:05**, ауд. **14-08** (главное здание МГУ), первая лекция **9 февраля 2026 года** **понедельник**, **18:30-20:05**, ауд. **14-08** (главное здание МГУ), первая лекция **9 февраля 2026 года**
      
    -**среда**, **16:45-18:20**, ауд. станет известна позднее, в следующие даты: **1, 15, 22, 29 апреля**, **6** и **13 мая**.+**среда**, **16:45-18:20**, ауд. **406** (2-й учебный корпус), в следующие даты: **1, 15, 22, 29 апреля**, **6** и **13 мая**.
      
     Экзамен по задачам весеннего семестра (спецкурс "Алгебры Ли") состоится **18 мая** вместо последней лекции.  Экзамен по задачам весеннего семестра (спецкурс "Алгебры Ли") состоится **18 мая** вместо последней лекции. 
      
     **[[https://disk.yandex.ru/i/ch5h4BeXRPmbfw|Задачи осеннего семестра (спецкурс "Ассоциативные кольца")]]** **[[https://disk.yandex.ru/i/ch5h4BeXRPmbfw|Задачи осеннего семестра (спецкурс "Ассоциативные кольца")]]**
     +
     +**[[https://disk.yandex.ru/i/fYkoZjMAoyKrWg|Задачи весеннего семестра (спецкурс "Алгебры Ли"; в процессе составления)]]**
      
     Решённые задачи нужно будет принести в **отдельной** тонкой тетради. На экзамене будут заданы задачи и вопросы на понимание по программе ниже. Число вопросов и задач будет зависеть от того, насколько много задач вам удастся сделать дома из списка выше, и того, насколько часто я вас видел на лекциях. На экзамене ничем нельзя будет пользоваться, кроме тетради с решёнными задачами. Решённые задачи нужно будет принести в **отдельной** тонкой тетради. На экзамене будут заданы задачи и вопросы на понимание по программе ниже. Число вопросов и задач будет зависеть от того, насколько много задач вам удастся сделать дома из списка выше, и того, насколько часто я вас видел на лекциях. На экзамене ничем нельзя будет пользоваться, кроме тетради с решёнными задачами.
    Строка 97: Строка 99:
     **15.12.2025**. Экзамен по задачам осеннего семестра (спецкурс "Ассоциативные кольца"). **15.12.2025**. Экзамен по задачам осеннего семестра (спецкурс "Ассоциативные кольца").
      
    -**[[https://teach-in.ru/course/associative-rings|Видеозаписи лекций на сайте teach-in (осенний семестр)]]** (эти же видео выложены на многих других платформах; чтобы их найти, используйте поиск в интернете)+18) **09.02.2026.** Организационные вопросы. Алгебры Ли. Разные определения антикоммутативности. 
     + 
     +__Упражнение.__ Проверить тождество Якоби для векторного произведения векторов - направленных отрезков. 
     + 
     +__Упражнение.__ Показать, что любую ассоциативную алгебру можно превратить в алгебру Ли относительно коммутатора [a,b]:=ab-ba. 
     + 
     +Дифференцирования. Внутренние дифференцирования. 
     + 
     +__Упражнение.__ Как устроены дифференцирования кольца многочленов от n переменных над произвольным полем? 
     + 
     +Алгебра Ли дифференцирований произвольной алгебры. Гомоморфизмы, идеалы, центр алгебры Ли. 
     + 
     +__Упражнение.__ Сформулировать и доказать теорему о гомоморфизме для алгебр Ли. 
     + 
     +__Упражнение.__ Доказать теоремы об изоморфизме для алгебр Ли. 
     + 
     +Гомоморфизм ad. 
     + 
     +__Упражнение.__ Показать, что внутренние дифференцирования образуют идеал в алгебре Ли всех дифференцирований. 
     + 
     +Простые алгебры Ли. Коммутант. Абелевы алгебры Ли. 
     +Разрешимые алгебры Ли. 
     + 
     +19) **16.02.2026.** Значение дифференцирования на единице алгебры с единицей. Представление алгебр Ли. Модули над алгебрами Ли. 
     + 
     +__Упражнение.__ Покажите, что алгебра Ли верхнетреугольных матриц разрешима. 
     + 
     +Разрешимый радикал.  
     + 
     +__Упражнение.__ Пусть $L$ --- конечномерная алгебра Ли. Тогда факторалгебра $L/\mathrm{Rad}\ L$ полупроста. 
     + 
     +Нильпотентные алгебры Ли. 
     + 
     +__Упражнение.__ В любой алгебре Ли произвольный длинный коммутатор представляется в виде целочисленной линейной комбинации левонормированных коммутаторов. 
     + 
     +__Упражнение.__ Сумма двух нильпотентных идеалов нильпотентна. 
     + 
     +Теорема Энгеля. 
     + 
     +20) **02.03.2026.** Теорема Ли. Нильпотентность коммутанта конечномерной разрешимой алгебры Ли. Разложение Жордана-Шевалле. 
     + 
     +21) **16.03.2026.** Критерий Картана разрешимости алгебры Ли. Форма Киллинга. 
     +Критерий Картана полупростоты алгебры Ли. Разложение полупростых алгебр Ли в прямую сумму идеалов, являющихся простыми алгебрами Ли. 
     + 
     +22) **23.03.2026.** Единственность такого разложения. Все дифференцирования полупростых алгебр Ли - внутренние. Универсальные обёртывающие алгебр Ли. Свободные и тензорные алгебры. Соответствующие пары сопряжённых функторов. 
     +Существование универсальных обертывающих. Частично, линейно и вполне упорядоченные множества. Теорема Цермело (без доказательства). 
     + Симметрические алгебры. Универсальные обёртывающие абелевых алгебр Ли. 
     + 
     +23) **30.03.2026.** Теорема Пуанкаре-Биркгофа-Витта. Свободная алгебра Ли. 
     + 
     +24) **01.04.2026.** Свободная ассоциативная алгебра как универсальная обёртывающая свободной алгебры Ли. Когомологии алгебр Ли: определение через явное описание коцепей. 
     + 
     +__Упражнение.__ Дифференциал коцепи является кососимметрическим полилинейным отображением. 
     + 
     +25) **06.04.2026.** Закончили доказательство того, что $d^2=0$. 
     +Модули над ассоциативными алгебрами с единицей. Связь представлений алгебры Ли и модулей над её универсальной обёртывающей. Неприводимые и вполне приводимые модули. Свойство отщепляемости. 
     +Группа $H^0$. Группа $H^1$ и дифференцирования. 
     + 
     +26) **13.04.2026.** Группа $H^1$, свойство отщепляемости и полная приводимость модулей. 
     + 
     +27) **15.04.2026.** Группа $H^2$ и расширения алгебр Ли с абелевым ядром. Центральные расширения.  
     + 
     +(Продолжение следует.) 
     + 
     +**[[https://disk.yandex.ru/i/8RKK_pKxJ765OA|Лекции по алгебрам Ли (в процессе написания)]]** 
     + 
     +Видеозаписи лекций на сайте teach-in (эти же видео выложены на многих других платформах; чтобы их найти, используйте поиск в интернете): 
     + 
     +**[[https://teach-in.ru/course/associative-rings| Ассоциативные кольца (осенний семестр)]]** 
     + 
     +**[[https://teach-in.ru/course/lie-algebras-gordienko|Алгебры Ли (весенний семестр)]]**
      
     __Литература:__ __Литература:__
    Строка 106: Строка 178:
       -   Хамфрис Дж. Введение в теорию алгебр Ли и их представлений.   -   Хамфрис Дж. Введение в теорию алгебр Ли и их представлений.
       - Гото М., Гроссханс Ф. Полупростые алгебры Ли.   - Гото М., Гроссханс Ф. Полупростые алгебры Ли.
     +  - Постников М.М. Лекции по геометрии. Семестр V. Группы и алгебры Ли.
    s_k_rings_and_algebras_2025_2026.1770550422.txt.gz · Последнее изменение: 08.02.2026 14:33 — gordienko

  • Показать страницу
  • История страницы
  • Ссылки сюда
  • Недавние изменения