Различия

Показаны различия между двумя версиями страницы.

--- s_k_rings_and_algebras_2025_2026 [30.03.2026 22:40]
gordienko
+++ s_k_rings_and_algebras_2025_2026 [19.06.2026 01:26] (текущий)
gordienko
@@ Строка 1: / Строка 1: @@
+**<color #ed1c24>ВНИМАНИЕ!</color>** Объявляется специальный курс "**[[:s_k_hopf_algebras_2026_2027|Алгебры Хопфа]]**", **понедельник**, **18:30-20:05**, ауд. станет известна позднее/***14-08** (главное здание МГУ)*/, с **7 сентября 2026 года**
 ==== Специальный курс "Кольца и алгебры", мехмат МГУ, осенний и весенний семестры 2025/2026 ====
 **Лектор [[:staff:gordienko|Гордиенко Алексей Сергеевич]]**
@@ Строка 8: / Строка 10: @@
 **понедельник**, **18:30-20:05**, ауд. **14-08** (главное здание МГУ), первая лекция **9 февраля 2026 года**
-**среда**, **16:45-18:20**, ауд. **406** (2-й учебный корпус), в следующие даты: **1, 15, 22, 29 апреля**, **6** и **13 мая**.
+**среда**, **16:45-18:20**, ауд. **406** (2-й учебный корпус), в следующие даты: **1, 15, 22, 29 апреля**, **6** и **13 мая**./* <color #ff0000>**ВНИМАНИЕ!**</color> В среду **13 мая** лекция будет в **ГЗ МГУ**, ауд. **12-24**.*/
 Экзамен по задачам весеннего семестра (спецкурс "Алгебры Ли") состоится **18 мая** вместо последней лекции.
@@ Строка 14: / Строка 17: @@
 **[[https://disk.yandex.ru/i/ch5h4BeXRPmbfw|Задачи осеннего семестра (спецкурс "Ассоциативные кольца")]]**
-**[[https://disk.yandex.ru/i/fYkoZjMAoyKrWg|Задачи весеннего семестра (спецкурс "Алгебры Ли"; в процессе составления)]]**
+**[[https://disk.yandex.ru/i/fYkoZjMAoyKrWg|Задачи весеннего семестра (спецкурс "Алгебры Ли")]]**
 Решённые задачи нужно будет принести в **отдельной** тонкой тетради. На экзамене будут заданы задачи и вопросы на понимание по программе ниже. Число вопросов и задач будет зависеть от того, насколько много задач вам удастся сделать дома из списка выше, и того, насколько часто я вас видел на лекциях. На экзамене ничем нельзя будет пользоваться, кроме тетради с решёнными задачами.
@@ Строка 128: / Строка 131: @@
 Разрешимый радикал.
-__Упражнение.__ Пусть $L$ --- конечномерная алгебра Ли. Тогда факторалгебра $L/\mathrm{Rad}\ L$ полупроста.
+__Упражнение.__ Пусть $L$ --- конечномерная алгебра Ли. Тогда факторалгебра $L/R(L)$ полупроста.
 Нильпотентные алгебры Ли.
@@ Строка 149: / Строка 152: @@
 ) **30.03.2026.** Теорема Пуанкаре-Биркгофа-Витта. Свободная алгебра Ли.
-(Продолжение следует.)
+) **01.04.2026.** Свободная ассоциативная алгебра как универсальная обёртывающая свободной алгебры Ли. Когомологии алгебр Ли: определение через явное описание коцепей.
+__Упражнение.__ Дифференциал коцепи является кососимметрическим полилинейным отображением.
+) **06.04.2026.** Закончили доказательство того, что $d^2=0$.
+Модули над ассоциативными алгебрами с единицей. Связь представлений алгебры Ли и модулей над её универсальной обёртывающей. Неприводимые и вполне приводимые модули. Свойство отщепляемости.
+Группа $H^0$. Группа $H^1$ и дифференцирования.
+) **13.04.2026.** Группа $H^1$, свойство отщепляемости и полная приводимость модулей.
+) **15.04.2026.** Группа $H^2$ и расширения алгебр Ли с абелевым ядром. Центральные расширения.
+) **20.04.2026.** Закончили классификацию расширений алгебр Ли с абелевым ядром при помощи группы $H^2$.
+ Элемент Казимира. Теорема Вейля.
+) **22.04.2026.** Разобрались, в каких теоремах важна алгебраическая замкнутость поля: важна - теорема Ли, лемма Шура, существование разложения Жордана - Шевалле. Неважна - критерии Картана, разложение полупростой алгебры Ли в прямую сумму идеалов, являющихся простыми подалгебрами. Разобрали трюк с расширением основного поля до алгебраически замкнутого: при таком трюке сохраняются коммутанты, разрешимость, нильпотентность, след, матрица формы Киллинга и её свойства.  Достаточно применить этот трюк в доказательстве критерия Картана разрешимости, а дальше всё работает. Элемент Казимира не зависит от выбора базиса. Пример: элемент Казимира "тавтологического" представления алгебры Ли $\mathfrak{sl}_2(\mathbb k)$ на двумерном пространстве. Закончили негомологическое доказательство теоремы Вейля (в случае алгебраически замкнутого поля). Доказали лемму, необходимую для доказательства теоремы Картана о неприводимых подалгебрах. (На самом деле доказательство этой леммы у нас уже было в составе леммы перед теоремой Ли.) __Примечание:__ на этой лекции видеосъёмка не велась. Видеозапись лекции будет сделана к концу мая.
+) **27.04.2026.** Теорема Картана о неприводимых подалгебрах. Включение $[L,L]\cap R(L) \subseteq N(L)$. (В текстах лекций эти утверждения находятся сразу после теоремы Ли.) Комплекс Шевалле-Эйленберга. Его вложение в бар-комплекс универсальной обёртывающей алгебры.
+) **29.04.2026.** Комплекс Кошуля. Его ацикличность. Ацикличность комплекса Шевалле-Эйленберга. Свободные и проективные модули и резольвенты. Функтор $\mathrm{Ext}$. Связь функтора $\mathrm{Ext}$ для универсальной обёртывающей алгебры и когомологий алгебры Ли (начали).
+) **04.05.2026.** Инъективные модули. Связь функтора Ext для универсальной обёртывающей алгебры и когомологий алгебры Ли (в т.ч. упражение 7.3.5 из книги Weibel). Теорема Уайтхеда о равенстве нулю когомологий с коэффициентами в нетривиальном неприводимом модуле (доказали пока только в случае алгебраически замкнутого поля). Первая лемма Уайтхеда. Гомологическое доказательство теоремы Вейля.
+) **06.05.2026.** Доказательство теоремы Уайтхеда о равенстве нулю когомологий с коэффициентами в нетривиальном неприводимом модуле в общем случае. Критерии полупростоты алгебры Ли в терминах полной приводимости и в терминах первой группы когомологий. Вторая лемма Уайтхеда.
+) **13.05.2026.** Контрпример к "третьей лемме Уайтхеда". Теорема Леви-Мальцева. Теорема Гото - Хариш-Чандры. Ряд Бейкера - Кэмпбелла - Хаусдорфа.
+Темы, которые мы рассмотреть **не успели**:
+Абстрактное разложение Жордана.
+ Неприводимые представления алгебры Ли $\mathfrak{sl}_2(\mathbb k)$. Системы корней. Подалгебры Картана. Максимальные торические подалгебры.
-**[[https://disk.yandex.ru/i/8RKK_pKxJ765OA|Лекции по алгебрам Ли (в процессе написания)]]**
+**[[https://disk.yandex.ru/i/8RKK_pKxJ765OA|Лекции по алгебрам Ли]]**
 Видеозаписи лекций на сайте teach-in (эти же видео выложены на многих других платформах; чтобы их найти, используйте поиск в интернете):
@@ Строка 166: / Строка 199: @@
   -   Хамфрис Дж. Введение в теорию алгебр Ли и их представлений.
   - Гото М., Гроссханс Ф. Полупростые алгебры Ли.
+  - Постников М.М. Лекции по геометрии. Семестр V. Группы и алгебры Ли.