Темы возможных курсовых работ:
1. Перманент.
Функция перманента очень похожа на функцию детерминанта, известна столь же давно и, кажется, даже проще, т.к. является суммой тех же слагаемых, что и определитель,но взятых со знаком плюс, независимо от четности соответствующей перестановки. Однако за простым видом скрываются значительно более сложные свойства. В частности, хотя определитель вычисляется за О(n^3) операций, неизвестно существует ли полиномиальный алгоритм вычисления перманента. Даже в простейшем случае перманента матриц, состоящих только из 0 и 1, представляют большой интерес вопросы описания структуры матриц с нулевым перманентом, вопросы делимости и реализации различных значений перманента и др., многие из которых являются открытыми.
2. Тропическая линейная алгебра.
Рассмотрим множество вещественных чисел, к которому присоединен элемент х, называемый «минус бесконечность», и зададим на этом множества операции сложения и умножения следующим образом: произведением элементов a и b назовем их сумму, а суммой - максимум. При этом будем считать, что xa=x для всех элементов а, а x+a=a, что как раз и соответствует интуитивному пониманию того, что минус бесконечность меньше всех. Множество с заданными операциями сложения и умножения, удовлетворяющими аксиомам ассоциативности и дистрибутивности, обладающее аддитивной единицей, которая является нейтральным элементом по умножению, носит название полукольца. Легко видеть, что введенное выше множество с операциями является полукольцом, называемым тропическим полукольцом. Исследование матриц над тропическим полукольцом актуально для ряда приложений, в частности в оптимизации. Предлагается ряд открытых научных вопросов по исследованию линейной алгебры над тропическим полукольцом, относящихся к строению тропических операторов.
3. Матрицы и графы.
Теория матриц с неотрицательными коэффициентами тесно связана с теорией графов. Такие матрицы имеют свою особую структуру и ряд интересных свойств, в частности особые свойства собственных чисел. Неотрицательные матрицы важны как с алгебраической точки зрения, так и в многочисленных приложениях в комбинаторике. Предлагается ряд актуальных открытых вопросов, возникающих из теории матриц, теории графов и их приложений.