Кафедра высшей алгебры

Вы посетили:



      

Различия

Здесь показаны различия между выбранной ревизией и текущей версией данной страницы.

sciguterman [14.04.2020 18:39] (текущий)
kulikova создано
Строка 1: Строка 1:
 +Темы возможных курсовых работ:
 +1. Перманент.
 +
 +Функция перманента очень похожа на функцию детерминанта, известна
 +столь же давно и, кажется, даже проще, т.к. является суммой тех же
 +слагаемых,  что и определитель,но взятых со знаком плюс, независимо от
 +четности  соответствующей перестановки. Однако за простым видом
 +скрываются значительно более сложные свойства. В частности, хотя
 +определитель вычисляется за О(n^3) операций, неизвестно существует ли
 +полиномиальный алгоритм вычисления перманента. Даже в простейшем
 +случае перманента матриц, состоящих только из 0 и 1, представляют
 +большой интерес вопросы описания структуры матриц с нулевым
 +перманентом, вопросы делимости  и реализации различных
 + значений перманента и др., многие из которых
 +являются открытыми.
 +
 +
 +2. Тропическая линейная алгебра.
 +
 +Рассмотрим множество вещественных чисел, к которому присоединен
 +элемент х, называемый "минус бесконечность", и зададим на этом
 +множества операции сложения и умножения следующим образом:
 +произведением элементов a и b назовем их сумму, а суммой - максимум.
 +При этом будем считать, что xa=x для всех элементов а, а x+a=a, что
 +как раз и соответствует интуитивному пониманию того, что минус
 +бесконечность меньше всех. Множество с заданными операциями сложения и
 +умножения, удовлетворяющими аксиомам ассоциативности и
 +дистрибутивности, обладающее аддитивной единицей, которая является
 +нейтральным элементом  по умножению, носит название полукольца.
 +Легко видеть, что введенное выше множество с операциями является
 +полукольцом, называемым тропическим полукольцом. Исследование матриц
 +над тропическим полукольцом актуально для ряда приложений, в частности
 +в оптимизации.
 +Предлагается ряд  открытых научных вопросов по исследованию линейной
 +алгебры над тропическим полукольцом, относящихся к строению
 +тропических операторов.
 +
 +
 +3. Матрицы и графы.
 +
 +Теория матриц с неотрицательными коэффициентами тесно связана с теорией графов.
 + Такие матрицы имеют свою особую структуру и ряд интересных свойств,
 + в частности особые свойства собственных чисел.
 +Неотрицательные матрицы важны как с алгебраической точки зрения,
 + так и в многочисленных приложениях в комбинаторике.
 + Предлагается ряд актуальных открытых вопросов, возникающих из
 + теории матриц, теории графов и их приложений.
 +