Направления исследований Д.А.Тимашева и его студентов:
1) Теория инвариантов
Инварианты в математике возникают всегда, когда нужно классифицировать какие-либо объекты с точностью до некоторой эквивалентности. Очень часто эквивалентность на множестве объектов задаётся действием группы. В теории инвариантов рассматриваются действия алгебраических групп на алгебраических многообразиях.
Алгебраические многообразия – это, грубо говоря, подмножества в аффинном или проективном пространстве, задаваемые полиномиальными уравнениями и неравенствами на координаты точек. А алгебраические группы – это алгебраические многообразия с групповой структурой. Линейные алгебраические группы можно задавать как подгруппы в группе невырожденных матриц, определяемые системами полиномиальных уравнений на матричные элементы. К этому классу относится значительное количество интересных групп. В случае основного поля действительных или комплексных чисел на алгебраических многообразиях и алгебраических группах есть естественная топологическая и даже дифференциально-геометрическая структура (впрочем, её аналог имеется и над произвольным полем).
Под инвариантами в этой теории понимаются полиномиальные или рациональные функции от координат на алгебраическом многообразии, инвариантные относительно действия алгебраической группы (т.е. постоянные на её орбитах). Основные вопросы теории инвариантов – описание орбит и инвариантов действий алгебраических групп на алгебраических многообразиях. Они связаны друг с другом: инварианты нужны для того, чтобы различать орбиты.
Например, симметрическая группа действует на n-мерном пространстве перестановками координат, и инвариантами являются симметрические многочлены. Они выражаются через конечный набор базисных инвариантов – элементарных симметрических многочленов – и различают все орбиты (по теореме Виета). Другой пример – действие группы невырожденных матриц на пространстве всех комплексных квадратных матриц сопряжениями. Здесь орбиты параметризуются жордановыми нормальными формами, а базисные инварианты – это (как можно доказать) коэффициенты характеристического многочлена матрицы; они уже не различают все орбиты.
В узком понимании теория инвариантов изучает орбиты и инварианты действий алгебраических групп на векторных пространствах (т.е. линейных представлений). Надеяться на полное описание орбит и инвариантов любых линейных представлений не приходится (хотя имеются некоторые общие теоремы об их структуре), но для некоторых (возможно, наиболее интересных) классов линейных представлений такое описание возможно, и задача – его получить.
2) Однородные пространства алгебраических групп и их компактификации
Однородные пространства – это такие алгебраические многообразия, на которых алгебраическая группа действует транзитивно (т.е. с единственной орбитой). Пример из линейной алгебры – совокупность невырожденных квадратичных гиперповерхностей в комплексном проективном пространстве является однородным пространством относительно действия группы невырожденных матриц линейными заменами координат (теорема о нормальном виде квадратичной формы). Среди алгебраических многообразий однородные пространства обладают наибольшим запасом симметрий, и это даёт мощный инструмент для изучения их геометрии.
Часто бывает, что некоторые эффекты проявляются «на бесконечности» – например, прямые на аффинной плоскости могут пересекаться, а могут и нет, но на проективной плоскости они всегда пересекаются (возможно, в бесконечно удалённой точке). Применительно к однородным пространствам это означает, что полезно изучать их компактификации, получаемые приклеиванием к однородному пространству некой границы. Например, пространство невырожденных квадратичных гиперповерхностей можно компактифицировать до пространства всех квадратичных гиперповерхностей (это, впрочем, не самая интересная его компактификация).
Компактификации, в частности, полезны в исчислительной геометрии, которая изучает вопросы о количестве точек однородного пространства, удовлетворяющих данному набору геометрических условий. Например: сколько гладких кривых 2-го порядка на комплексной проективной плоскости касаются пяти данных кривых в общем положении друг относительно друга? Ответ можно получить, используя так называемую чудесную компактификацию пространства гладких плоских кривых 2-го порядка.
Если однородное пространство над полем комплексных чисел (или иным алгебраически замкнутым полем) задано уравнениями с вещественными (или лежащими в меньшем поле) коэффициентами, то можно рассматривать его вещественные точки – решения уравнений с вещественными координатами (или точки над меньшим полем). Чаще всего группа вещественных точек данной комплексной алгебраической группы действует на множестве вещественных точек комплексного однородного пространства уже не транзитивно, и возникает интересная и важная в приложениях задача – описать орбиты этого действия. Например, для пространства невырожденных квадратичных гиперповерхностей вещественные орбиты различаются сигнатурами соответствующих квадратичных форм, по закону инерции.
3) Геометрическая теория представлений
Линейные представления алгебраических групп часто реализуются геометрически в пространствах функций (или сечений линейных расслоений) на алгебраических многообразиях, в частности, на однородных пространствах. При этом разные вопросы теории представлений (например, разложение на неприводимые слагаемые тензорного произведения неприводимых представлений или ограничения неприводимого представления на подгруппу) могут быть интерпретированы и решены на геометрическом языке. Взаимодействие между алгеброй и геометрией здесь весьма плодотворно и работает в обоих направлениях.