Ссылка на страницу на сайте кафедры: Жилина Светлана Александровна

Некоторое представление о моих исследованиях можно получить, посмотрев мои доклады на конференциях, кандидатскую диссертацию и публикации (рекомендуемые — с 2020 года по настоящее время):

• ИСТИНА
• ResearchGate
• MathSciNet

Увидеть полные тексты работ можно тремя бесплатными способами:

• Попросить у меня лично;
• Найти в интернете (способ подходит для статей, опубликованных в «Записках ПОМИ» или «Фундаментальной и прикладной математике»);
• Найти на Sci-Hub по индивидуальному номеру (DOI) каждой статьи (указан на ResearchGate).

1) Графы отношений различных алгебраических структур. Отображения, сохраняющие отношения.

Важным подходом к визуализации различных алгебраических отношений является построение графа рассматриваемого отношения. Вершинам графа Г бинарного алгебраического отношения R на заданной алгебраической структуре S соответствуют элементы S или их классы эквивалентности, причём существует ребро из x в y, если и только если xRy. Если отношение R симметрично, то полученный граф Г оказывается неориентированным, а иначе — ориентированным.

Одним из первых вопросов, возникающих при изучении графов отношений, является описание их комбинаторных свойств, таких как: диаметры компонент связности, обхват (наименьшая длина цикла в графе), кликовое число (наибольшее возможное количество вершин в подграфе, являющемся полным графом). Нередко выясняется, что для похожих структур (но имеющих, например, разную размерность) эти величины оказываются различными. В этом случае графы отношений помогают различить соответствующие алгебраические структуры: для разных структур получаются разные графы.

Более строго, в некоторых случаях неизоморфным структурам соответствуют неизоморфные графы, и наоборот. Если для некоторого класса алгебраических структур удаётся доказать подобный результат, то говорят, что для этого класса решена проблема изоморфизма. Решение проблемы изоморфизма в каждом конкретном случае — нетривиальная задача, каждый раз требующая нового подхода.

Кроме того, графы отношений нередко помогают классифицировать отображения, которые сохраняют порождающие их отношения. Речь идёт о таких отображениях Ф, что либо из xRy следует Ф(x)RФ(y) (в этом случае говорят, что Ф сохраняет отношение R в одну сторону), либо условия xRy и Ф(x)RФ(y) равносильны (тогда Ф сохраняет R в обе стороны). Такое отображение можно рассматривать как (не обязательно сюръективный) гомоморфизм соответствующего графа Г.

В число возможных тем курсовых работ входит как изучение данных вопросов для конкретного класса алгебр или других алгебраических структур, так и изучение общих свойств графов отношений. Например, если рассматривать конечномерную алгебру над полем вещественных или комплексных чисел как векторное пространство, то топология векторного пространства индуцирует топологию на множестве вершин графа. В этом случае можно изучать непрерывность путей между двумя вершинами при непрерывном изменении концевых точек, а также множества пар вершин, расстояние между которыми не превосходит заданное число.

2) Неассоциативные алгебры: алгебры Кэли-Диксона, композиционные алгебры.

Изучение алгебр Кэли-Диксона берёт своё начало в теории композиционных алгебр, которые определяются следующим образом. Пусть A — алгебра над произвольным полем F, возможно, неунитальная (без единицы) и неассоциативная. Предположим, что алгебра A снабжена строго невырожденной квадратичной формой n(a), то есть симметрическая билинейная форма n(a,b) = n(a+b) - n(a) - n(b) невырождена на A. Тогда A называется композиционной алгеброй, если n(ab) = n(a) n(b) для всех a, b из A.

В 1898 году Гурвиц показал, что единственные унитальные композиционные алгебры с делением над полем вещественных чисел — это вещественные числа, комплексные числа, кватернионы и октонионы. Такие алгебры принято называть гурвицевыми, и их размерности равны 1, 2, 4 и 8, соответственно. Эта знаменитая теорема играет важную роль в различных областях математики. Например, с ней связан тот факт, что сфера S^n-1 ⊆ ℝⁿ является параллелизуемой (то есть можно «причесать ежа»), если и только если n — одно из чисел 1, 2, 4 или 8. Кроме того, гурвицевы алгебры, особенно, кватернионы и октонионы, имеют множество применений в физике элементарных частиц, а также в теории йордановых алгебр и алгебр Ли.

Позднее теорема Гурвица была обобщена Джекобсоном на случай произвольных унитальных композиционных алгебр над произвольным полем F, характеристика которого отлична от 2. Он показал, что любая такая алгебра изоморфна алгебре Кэли-Диксона A_n размерности 2ⁿ, где 0 ≤ n ≤ 3. Затем этот результат был обобщён на случай поля F произвольной характеристики. Известно, что элемент a (не обязательно унитальной) конечномерной композиционной алгебры A является делителем нуля, если и только если n(a) = 0. Таким образом, любая конечномерная композиционная алгебра либо является алгеброй с делением, либо имеет делители нуля, в зависимости от того, является ли норма на ней анизотропной или изотропной.

В общем случае, алгебры Кэли-Диксона — это семейство 2ⁿ-мерных алгебр A_n над полем F, char F ≠ 2, где n — целое неотрицательное число. Алгебры Кэли-Диксона определяются индуктивно: на каждом шаге алгебра A_n+1 получается из алгебры A_n с помощью процедуры удвоения Кэли-Диксона, для которой задан некоторый ненулевой параметр из поля. При n ≥ 4 алгебры A_n неальтернативны (то есть нарушаются тождества a(ab) = (aa)b и (ba)a = b(aa)), а потому не являются композиционными. Как следствие, в них появляются делители нуля даже в том случае, когда норма на A_n анизотропна. Классификация этих делителей нуля и описание их аннуляторов оказываются довольно трудной задачей, за исключением, разве что, некоторых частных случаев.

В случае, когда F — поле вещественных чисел, а все параметры процедуры Кэли-Диксона равны -1, алгебры A_n называются вещественными алгебрами главной последовательности. Они обобщают гурвицевы алгебры на случай сколь угодно большой размерности. Одним из актуальных направлений исследований является обобщение классических результатов алгебры и линейной алгебры о многочленах и матрицах над комплексными числами на случай вещественных алгебр главной последовательности. В частности, в последние годы был доказан ряд результатов о корнях многочленов над этими алгебрами и их связи с корнями производных, а также об определителях и собственных числах кватернионных матриц.

3) Ортогональности Биркгофа-Джеймса и Робертса в нормированных пространствах.

Среди нормированных пространств особое место занимают гильбертовы пространства (в конечномерном случае они называются евклидовыми или унитарными, в зависимости от того, является ли поле вещественным или комплексным). Они отличаются от всех остальных тем, что на них задано скалярное произведение, которое и индуцирует норму. Однако в общем случае нормированные пространства не наделены скалярным произведением и, как следствие, мы не можем задать на них отношение ортогональности привычным образом.

Тем не менее, существует несколько неэквивалентных обобщений ортогональности на произвольные нормированные пространства. Пожалуй, самое известное среди них — ортогональность Биркгофа-Джеймса. Она имеет простой геометрический смысл: единичный вектор x ортогонален вектору y, если прямая, проходящая через точку x и параллельная y, не пересекает внутренность единичного шара. Нетрудно проверить, что ортогональность Биркгофа-Джеймса не является симметричной: из того, что x ортогонален y, не следует, что y ортогонален x.

На данный момент удобные критерии ортогональности Биркгофа-Джеймса получены лишь для некоторых классов нормированных пространств: пространства ограниченных последовательностей с max-нормой, пространства линейных операторов над гильбертовым пространством и некоторых других. Активно ведётся изучение ортогональности Биркгофа-Джеймса в случае линейных операторов над произвольным нормированным пространством, рассматриваются всевозможные обобщения этого понятия (например, приблизительная ортогональность Биркгофа-Джеймса).

Другая известная ортогональность — ортогональность Робертса: векторы x и y ортогональны, если ∥x + λy∥ = ∥x - λy∥ для всех λ из поля. Если два вектора ортогональны в смысле Робертса, то они ортогональны и в смысле Биркгофа-Джеймса. В отличие от ортогональности Биркгофа-Джеймса, ортогональность Робертса симметрична. Однако у неё нет такого простого геометрического смысла и, как следствие, она оказывается сложнее для изучения. Удобный критерий ортогональности Робертса получен только для пространства конечных последовательностей с max-нормой, а в случае пространства линейных операторов над гильбертовым пространством известен только критерий ортогональности заданного оператора и единичного оператора.

Для ортогональностей Биркгофа-Джеймса и Робертса также можно рассматривать графы отношений. В одной из недавних работ была полностью решена проблема изоморфизма для ориентированных графов ортогональности Биркгофа-Джеймса гладких нормированных пространств размерности не меньше трёх. Кроме того, известно, что существуют негладкие нормированные пространства, которые не изометрически изоморфны, однако их графы ортогональности Биркгофа-Джеймса изоморфны. Это означает, что от условия гладкости в этой теореме избавиться нельзя.

Возможные темы курсовых работ включают в себя как изучение ортогональностей Биркгофа-Джеймса и Робертса (а также их обобщений) для конкретных классов нормированных пространств, так и описание общих свойств соответствующих им графов отношений в произвольных нормированных пространствах. В качестве отдельного направления стоит отметить изучение взвешенного графа приблизительной ортогональности Биркгофа-Джеймса, который может позволить решить проблему изоморфизма для негладких нормированных пространств.