Различия

Показаны различия между двумя версиями страницы.

--- scizhilina [17.03.2023 13:21]
zhilina
+++ scizhilina [08.04.2025 16:43] (текущий)
@@ Строка 3: / Строка 3: @@
 Ссылка на страницу на сайте кафедры: [[staff:zhilina|Жилина Светлана Александровна]]
-Некоторое представление о моих исследованиях можно получить, посмотрев мои доклады ([[https://youtube.com/playlist?list=PLZULa0Ta8Km6kRFhaafOmXz0SLpvdKBj2|YouTube]]) и публикации:
+Некоторое представление о моих исследованиях можно получить, посмотрев мои [[https://youtube.com/playlist?list=PLZULa0Ta8Km6kRFhaafOmXz0SLpvdKBj2|доклады на конференциях]], [[https://istina.msu.ru/dissertations/496390040/|кандидатскую диссертацию]] и публикации (рекомендуемые --- с 2020 года по настоящее время):
   * [[http://istina.msu.ru/profile/ZhilinaSA/|ИСТИНА]]
   * [[https://www.researchgate.net/profile/Svetlana-Zhilina|ResearchGate]]
@@ Строка 14: / Строка 14: @@
 ==== Темы возможных курсовых работ ====
+**1) Графы отношений различных алгебраических структур. Отображения, сохраняющие отношения.**
+Важным подходом к визуализации различных алгебраических отношений является построение __графа рассматриваемого отношения__. Вершинам графа Г бинарного алгебраического отношения R на заданной алгебраической структуре S соответствуют элементы S или их классы эквивалентности, причём существует ребро из x в y, если и только если xRy. Если отношение R симметрично, то полученный граф Г оказывается неориентированным, а иначе --- ориентированным.
+Одним из первых вопросов, возникающих при изучении графов отношений, является __описание их комбинаторных свойств__, таких как: диаметры компонент связности, обхват (наименьшая длина цикла в графе), кликовое число (наибольшее возможное количество вершин в подграфе, являющемся полным графом). Нередко выясняется, что для похожих структур (но имеющих, например, разную размерность) эти величины оказываются различными. В этом случае __графы отношений помогают различить__ соответствующие алгебраические структуры: для разных структур получаются разные графы.
+Более строго, в некоторых случаях неизоморфным структурам соответствуют неизоморфные графы, и наоборот. Если для некоторого класса алгебраических структур удаётся доказать подобный результат, то говорят, что для этого класса решена __проблема изоморфизма__. Решение проблемы изоморфизма в каждом конкретном случае --- нетривиальная задача, каждый раз требующая нового подхода.
+Кроме того, графы отношений нередко помогают классифицировать __отображения, которые сохраняют порождающие их отношения__. Речь идёт о таких отображениях Ф, что либо из xRy следует Ф(x)RФ(y) (в этом случае говорят, что Ф сохраняет отношение R в одну сторону), либо условия xRy и Ф(x)RФ(y) равносильны (тогда Ф сохраняет R в обе стороны). Такое отображение можно рассматривать как (не обязательно сюръективный) гомоморфизм соответствующего графа Г.
+В число __возможных тем курсовых работ__ входит как изучение данных вопросов для конкретного класса алгебр или других алгебраических структур, так и изучение общих свойств графов отношений. Например, если рассматривать конечномерную алгебру над полем вещественных или комплексных чисел как векторное пространство, то топология векторного пространства индуцирует топологию на множестве вершин графа. В этом случае можно изучать непрерывность путей между двумя вершинами при непрерывном изменении концевых точек, а также множества пар вершин, расстояние между которыми не превосходит заданное число.
+**2) Неассоциативные алгебры: алгебры Кэли-Диксона, композиционные алгебры.**
+Изучение алгебр Кэли-Диксона берёт своё начало в теории композиционных алгебр, которые определяются следующим образом. Пусть A --- алгебра над произвольным полем F, возможно, неунитальная (без единицы) и неассоциативная. Предположим, что алгебра A снабжена строго невырожденной квадратичной формой n(a), то есть симметрическая билинейная форма n(a,b) = n(a+b) - n(a) - n(b) невырождена на A. Тогда A называется __композиционной алгеброй__, если n(ab) = n(a) n(b) для всех a, b из A.
+В 1898 году Гурвиц показал, что единственные унитальные композиционные алгебры с делением над полем вещественных чисел --- это вещественные числа, комплексные числа, кватернионы и октонионы. Такие алгебры принято называть __гурвицевыми__, и их размерности равны 1, 2, 4 и 8, соответственно. Эта знаменитая теорема играет важную роль в различных областях математики. Например, с ней связан тот факт, что сфера S<sup>n-1</sup> ⊆ ℝ<sup>n</sup> является параллелизуемой (то есть можно "причесать ежа"), если и только если n --- одно из чисел 1, 2, 4 или 8. Кроме того, гурвицевы алгебры, особенно, кватернионы и октонионы, имеют множество применений в физике элементарных частиц, а также в теории йордановых алгебр и алгебр Ли.
+Позднее теорема Гурвица была обобщена Джекобсоном на случай произвольных унитальных композиционных алгебр над произвольным полем F, характеристика которого отлична от 2. Он показал, что __любая такая алгебра изоморфна алгебре Кэли-Диксона__ A<sub>n</sub> размерности 2<sup>n</sup>, где 0 ≤ n ≤ 3. Затем этот результат был обобщён на случай поля F произвольной характеристики. Известно, что элемент a (не обязательно унитальной) конечномерной композиционной алгебры A является делителем нуля, если и только если n(a) = 0. Таким образом, любая конечномерная композиционная алгебра либо является алгеброй с делением, либо имеет делители нуля, в зависимости от того, является ли норма на ней анизотропной или изотропной.
+В общем случае, __алгебры Кэли-Диксона --- это семейство 2<sup>n</sup>-мерных алгебр__ A<sub>n</sub> над полем F, char F ≠ 2, где n --- целое неотрицательное число. Алгебры Кэли-Диксона определяются индуктивно: на каждом шаге алгебра A<sub>n+1</sub> получается из алгебры A<sub>n</sub> с помощью процедуры удвоения Кэли-Диксона, для которой задан некоторый ненулевой параметр из поля. При n ≥ 4 алгебры A<sub>n</sub> __неальтернативны__ (то есть нарушаются тождества a(ab) = (aa)b и (ba)a = b(aa)), а потому не являются композиционными. Как следствие, в них появляются делители нуля даже в том случае, когда норма на A<sub>n</sub> анизотропна. Классификация этих делителей нуля и описание их аннуляторов оказываются довольно трудной задачей, за исключением, разве что, некоторых частных случаев.
+В случае, когда F --- поле вещественных чисел, а все параметры процедуры Кэли-Диксона равны -1, алгебры A<sub>n</sub> называются __вещественными алгебрами главной последовательности__. Они обобщают гурвицевы алгебры на случай сколь угодно большой размерности. Одним из актуальных направлений исследований является обобщение __классических результатов алгебры и линейной алгебры о многочленах и матрицах__ над комплексными числами на случай вещественных алгебр главной последовательности. В частности, в последние годы был доказан ряд результатов о корнях многочленов над этими алгебрами и их связи с корнями производных, а также об определителях и собственных числах кватернионных матриц.
+**3) Ортогональности Биркгофа-Джеймса и Робертса в нормированных пространствах.**
+Среди нормированных пространств особое место занимают гильбертовы пространства (в конечномерном случае они называются евклидовыми или унитарными, в зависимости от того, является ли поле вещественным или комплексным). Они отличаются от всех остальных тем, что на них задано скалярное произведение, которое и индуцирует норму. Однако в общем случае __нормированные пространства не наделены скалярным произведением__ и, как следствие, мы не можем задать на них отношение ортогональности привычным образом.
+Тем не менее, существует несколько неэквивалентных обобщений ортогональности на произвольные нормированные пространства. Пожалуй, самое известное среди них --- __ортогональность Биркгофа-Джеймса__. Она имеет простой геометрический смысл: единичный вектор x ортогонален вектору y, если прямая, проходящая через точку x и параллельная y, не пересекает внутренность единичного шара. Нетрудно проверить, что __ортогональность Биркгофа-Джеймса не является симметричной__: из того, что x ортогонален y, не следует, что y ортогонален x.
+На данный момент удобные критерии ортогональности Биркгофа-Джеймса получены __лишь для некоторых классов нормированных пространств__: пространства ограниченных последовательностей с max-нормой, пространства линейных операторов над гильбертовым пространством и некоторых других. Активно ведётся изучение ортогональности Биркгофа-Джеймса в случае линейных операторов над произвольным нормированным пространством, __рассматриваются всевозможные обобщения__ этого понятия (например, приблизительная ортогональность Биркгофа-Джеймса).
+Другая известная ортогональность --- __ортогональность Робертса__: векторы x и y ортогональны, если ∥x + λy∥ = ∥x - λy∥ для всех λ из поля. Если два вектора ортогональны в смысле Робертса, то они ортогональны и в смысле Биркгофа-Джеймса. В отличие от ортогональности Биркгофа-Джеймса, __ортогональность Робертса симметрична__. Однако у неё нет такого простого геометрического смысла и, как следствие, она оказывается сложнее для изучения. Удобный критерий ортогональности Робертса получен только для пространства конечных последовательностей с max-нормой, а в случае пространства линейных операторов над гильбертовым пространством известен только критерий ортогональности заданного оператора и единичного оператора.
+Для ортогональностей Биркгофа-Джеймса и Робертса также можно рассматривать графы отношений. В одной из недавних работ была полностью __решена проблема изоморфизма для ориентированных графов ортогональности Биркгофа-Джеймса__ гладких нормированных пространств размерности не меньше трёх. Кроме того, известно, что существуют негладкие нормированные пространства, которые не изометрически изоморфны, однако их графы ортогональности Биркгофа-Джеймса изоморфны. Это означает, что от условия гладкости в этой теореме избавиться нельзя.
+__Возможные темы курсовых работ__ включают в себя как изучение ортогональностей Биркгофа-Джеймса и Робертса (а также их обобщений) для конкретных классов нормированных пространств, так и описание общих свойств соответствующих им графов отношений в произвольных нормированных пространствах. В качестве отдельного направления стоит отметить изучение __взвешенного графа приблизительной ортогональности Биркгофа-Джеймса__, который может позволить решить проблему изоморфизма для негладких нормированных пространств.