Различия

Показаны различия между двумя версиями страницы.

--- scizhilina [17.03.2023 17:01]
zhilina
+++ scizhilina [08.04.2025 16:43] (текущий)
@@ Строка 29: / Строка 29: @@
 **2) Неассоциативные алгебры: алгебры Кэли-Диксона, композиционные алгебры.**
-Корни, определители, собственные числа
+Изучение алгебр Кэли-Диксона берёт своё начало в теории композиционных алгебр, которые определяются следующим образом. Пусть A --- алгебра над произвольным полем F, возможно, неунитальная (без единицы) и неассоциативная. Предположим, что алгебра A снабжена строго невырожденной квадратичной формой n(a), то есть симметрическая билинейная форма n(a,b) = n(a+b) - n(a) - n(b) невырождена на A. Тогда A называется __композиционной алгеброй__, если n(ab) = n(a) n(b) для всех a, b из A.
+В 1898 году Гурвиц показал, что единственные унитальные композиционные алгебры с делением над полем вещественных чисел --- это вещественные числа, комплексные числа, кватернионы и октонионы. Такие алгебры принято называть __гурвицевыми__, и их размерности равны 1, 2, 4 и 8, соответственно. Эта знаменитая теорема играет важную роль в различных областях математики. Например, с ней связан тот факт, что сфера S<sup>n-1</sup> ⊆ ℝ<sup>n</sup> является параллелизуемой (то есть можно "причесать ежа"), если и только если n --- одно из чисел 1, 2, 4 или 8. Кроме того, гурвицевы алгебры, особенно, кватернионы и октонионы, имеют множество применений в физике элементарных частиц, а также в теории йордановых алгебр и алгебр Ли.
+Позднее теорема Гурвица была обобщена Джекобсоном на случай произвольных унитальных композиционных алгебр над произвольным полем F, характеристика которого отлична от 2. Он показал, что __любая такая алгебра изоморфна алгебре Кэли-Диксона__ A<sub>n</sub> размерности 2<sup>n</sup>, где 0 ≤ n ≤ 3. Затем этот результат был обобщён на случай поля F произвольной характеристики. Известно, что элемент a (не обязательно унитальной) конечномерной композиционной алгебры A является делителем нуля, если и только если n(a) = 0. Таким образом, любая конечномерная композиционная алгебра либо является алгеброй с делением, либо имеет делители нуля, в зависимости от того, является ли норма на ней анизотропной или изотропной.
+В общем случае, __алгебры Кэли-Диксона --- это семейство 2<sup>n</sup>-мерных алгебр__ A<sub>n</sub> над полем F, char F ≠ 2, где n --- целое неотрицательное число. Алгебры Кэли-Диксона определяются индуктивно: на каждом шаге алгебра A<sub>n+1</sub> получается из алгебры A<sub>n</sub> с помощью процедуры удвоения Кэли-Диксона, для которой задан некоторый ненулевой параметр из поля. При n ≥ 4 алгебры A<sub>n</sub> __неальтернативны__ (то есть нарушаются тождества a(ab) = (aa)b и (ba)a = b(aa)), а потому не являются композиционными. Как следствие, в них появляются делители нуля даже в том случае, когда норма на A<sub>n</sub> анизотропна. Классификация этих делителей нуля и описание их аннуляторов оказываются довольно трудной задачей, за исключением, разве что, некоторых частных случаев.
+В случае, когда F --- поле вещественных чисел, а все параметры процедуры Кэли-Диксона равны -1, алгебры A<sub>n</sub> называются __вещественными алгебрами главной последовательности__. Они обобщают гурвицевы алгебры на случай сколь угодно большой размерности. Одним из актуальных направлений исследований является обобщение __классических результатов алгебры и линейной алгебры о многочленах и матрицах__ над комплексными числами на случай вещественных алгебр главной последовательности. В частности, в последние годы был доказан ряд результатов о корнях многочленов над этими алгебрами и их связи с корнями производных, а также об определителях и собственных числах кватернионных матриц.
 **3) Ортогональности Биркгофа-Джеймса и Робертса в нормированных пространствах.**