Направления исследований С. А. Жилиной

Ссылка на страницу на сайте кафедры: Жилина Светлана Александровна

Некоторое представление о моих исследованиях можно получить, посмотрев мои доклады на конференциях, кандидатскую диссертацию и публикации:

• ИСТИНА
• ResearchGate
• MathSciNet

Увидеть полные тексты работ можно тремя бесплатными способами:

• Попросить у меня лично;
• Найти в интернете (способ подходит для статей, опубликованных в «Записках ПОМИ» или «Фундаментальной и прикладной математике»);
• Найти на Sci-Hub по индивидуальному номеру (DOI) каждой статьи (указан на ResearchGate).

1) Графы отношений различных алгебраических структур. Отображения, сохраняющие отношения.

Важным подходом к визуализации различных алгебраических отношений является построение графа рассматриваемого отношения. Вершинам графа Г бинарного алгебраического отношения R на заданной алгебраической структуре S соответствуют элементы S или их классы эквивалентности, причём существует ребро из x в y, если и только если xRy. Если отношение R симметрично, то полученный граф Г оказывается неориентированным, а иначе — ориентированным.

Одним из первых вопросов, возникающих при изучении графов отношений, является описание их комбинаторных свойств, таких как: диаметры компонент связности, обхват (наименьшая длина цикла в графе), кликовое число (наибольшее возможное количество вершин в подграфе, являющемся полным графом). Нередко выясняется, что для похожих структур (но имеющих, например, разную размерность) эти величины оказываются различными. В этом случае графы отношений помогают различить соответствующие алгебраические структуры: для разных структур получаются разные графы.

Более строго, в некоторых случаях неизоморфным структурам соответствуют неизоморфные графы, и наоборот. Если для некоторого класса алгебраических структур удаётся доказать подобный результат, то говорят, что для этого класса решена проблема изоморфизма. Решение проблемы изоморфизма в каждом конкретном случае — нетривиальная задача, каждый раз требующая нового подхода.

Кроме того, графы отношений нередко помогают классифицировать отображения, которые сохраняют порождающие их отношения. Речь идёт о таких отображениях Ф, что либо из xRy следует Ф(x)RФ(y) (в этом случае говорят, что Ф сохраняет отношение R в одну сторону), либо условия xRy и Ф(x)RФ(y) равносильны (тогда Ф сохраняет R в обе стороны). Такое отображение можно рассматривать как (не обязательно сюръективный) гомоморфизм соответствующего графа Г.

В число возможных тем курсовых работ входит как изучение данных вопросов для конкретного класса алгебр или других алгебраических структур, так и изучение общих свойств графов отношений. Например, если рассматривать конечномерную алгебру над полем вещественных или комплексных чисел как векторное пространство, то топология векторного пространства индуцирует топологию на множестве вершин графа. В этом случае можно изучать непрерывность путей между двумя вершинами при непрерывном изменении концевых точек, а также множества пар вершин, расстояние между которыми не превосходит заданное число.

2) Неассоциативные алгебры: алгебры Кэли-Диксона, композиционные алгебры.

Корни, определители, собственные числа

3) Ортогональности Робертса и Биркгофа-Джеймса в нормированных пространствах.