25 ноября

Докладчик: Семен Костин

Название доклада: Критические группы графов

Аннотация: Теорема Кэли, доказанная в 1860 году, позволяет найти число деревьев, состоящих из n вершин, или, иными словами, количество остовных деревьев (то есть подграфов, являющихся деревьями) в графе Kn. Вопрос поиска этого числа у более сложных и общих семейств графов активно изучается до сих пор. В частности, известно, что число остовных деревьев равно порядку критической группы графа – абелевой группы, которую можно найти по нормальной форме Смита его матрицы Кирхгофа. Также эта группа изоморфна группе критических конфигураций графа в так называемой долларовой игре – комбинаторной модели, открытой в конце прошлого века. В докладе в том числе будут разобраны примеры для некоторых конкретных графов.

18 ноября

Докладчик: Остроухова Наталья

Название доклада: Сборные графы и их матрицы

Аннотация: Сборные графы и соответствующие им 2-слова играют важную роль в описании эпигенетических геномных перестроек у простейших микроорганизмов. Как и обычные графы, сборные графы могут быть описаны в терминах их матриц инцидентности. Мы рассмотрим матричную характеризацию некоторых семейств простых сборных графов а также конструкций, которые позволяют получать новые сборные графы большего размера.

11 ноября

Докладчик: Даниелян Сурен

Название доклада: Интеграторы диагональных матриц

Аннотация: Матрица B называется дифференциатором матрицы А, если B получается из А отбрасыванием последней строки и последнего столбца и характеристический многочлен B пропорционален производной характеристического многочлена А. Мы рассмотрим обратную операцию — интегрирование: по заданной матрице B необходимо построить матрицу А так, что B является дифференциатором А. Оказывается, что сделать это не всегда возможно. В случае диагональных матриц мы обсудим критерии существования интегратора и покажем, как эта задача сводится к исследованию интегралов от многочленов.

28 октября

Докладчики: А.Я.Белов, А.М.Елишев

Название доклада: Решение гипотезы Концевича

Аннотация: Мы обсудим предложенное нами (вместе с Jietai Yu) недавно доказательство гипотезы Концевича об изоморфности над $\mathbb{C}$ групп автоморфизмов алгебры Вейля $W_n$ и алгебры $P_n$ многочленов от $2n$ переменных с дополнительной скобкой Пуассона. В доказательстве используются результаты о топологии формальных степенных рядов на группах автоморфизмов, полученные нами ранее (https://arxiv.org/abs/1812.02859). Мы также рассмотрим вопрос о независимости изоморфизма из гипотезы Концевича от неконструктивных объектов (бесконечно большого простого числа), участвующих в его построении.

14 октября

Начало в 16:45. Заседание научно-исследовательского семинара по алгебре, посвященное памяти Виктора Тимофеевича Маркова.

7 октября

Докладчик: Д.К. Кудрявцев

Название доклада: Длина прямой суммы алгебр

Аннотация: Впервые рассмотренный в середине XX века в ассоциативном случае, структурный инвариант названный «длиной» изначально применялся для ассоциативных алгебр, в первую очередь матричных. Он нашел свое применение в критериях, основанных на переборе слов в некоторых алфавитах, а также разделах квантовой физики. Задача вычисления длин конкретных алгебр и получения оценок на значения длин в различных классах находится в стадии активного изучения. Среди результатов, которые будут представлены на докладе: значения длин алгебры кватернионов и октонионов, соображения о возможных длинах в классах общих неассоциативных и квадратичных алгебр (в том числе точные верхние оценки в зависимости от размерности) и оценка на длину прямой суммы неасоциативных алгебр.

30 сентября

Докладчик: С.А. Жилина

Название доклада: Дважды альтернативные делители нуля в контр-алгебрах

Аннотация: Одной из важных алгебраических структур являются вещественные алгебры Кэли-Диксона. Среди них можно выделить две основные последовательности алгебр: алгебры главной последовательности и контр-алгебры. В работах Морено были определены и изучены дважды альтернативные элементы алгебр главной последовательности, однако не меньший интерес представляет обобщение этого понятия на случай контр-алгебр, чему и будет посвящён данный доклад. В частности, для произвольного дважды альтернативного элемента нетрудно описать левый и правый аннуляторы и ортогонализатор, а критерий свойства быть делителем нуля принимает особенно красивый вид. Кроме того, для дважды альтернативных элементов выполняется простое соотношение между централизатором и ортогонализатором, которое, как можно показать, в общем случае нарушается.

04.09.2019 ВНИМАНИЕ: начало в 18:00, аудитория 14-15

1. Pálfia Miklós, On the recent advances in the multivariable theory of operator monotone functions and means Functional Analysis Research Group, Institute of Mathematics, University of Szeged, Hungary, Sungkyunkwan University, Korea

Abstract: The origins of this talk go back to the fundamental theorem of Loewner in 1934 on operator monotone real functions and also to the hyperbolic geometry of positive matrices. Loewner's theorem characterizing one variable operator monotone functions has been very influential in matrix analysis and operator theory. Among others it lead to the Kubo-Ando theory of two-variable operator means of positive operators in 1980. One of the nontrivial means of the Kubo-Ando theory is the non-commutative generalization of the geometric mean which is intimately related to the hyperbolic, non-positively curved Riemannian structure of positive matrices. This geometry provides a key tool to define multivariable generalizations of two-variable operator means. Arguably the most important example of them all is the Karcher mean which is the center of mass on this manifold. This formulation enables us to define this mean for probability measures on the cone of positive definite matrices extending further the multivariable case. Even the infinite dimensional case of positive operators is tractable by abandoning the Riemannian structure in favor of a Banach-Finsler structure provided by Thompson's part metric on the cone of positive definite operators. This metric enables us to develop a general theory of means of probability measures defined as unique solutions of nonlinear operator equations on the cone, with the help of contractive semigroups of nonlinear operators. We also introduce the recently established structure theory of multivariable operator monotone functions extending the classical result of Loewner into the non-commutative multivariable realm of free functions, providing theoretically explicit closed formulas for our multivariable operator means.

2. Fedor Pakovich, COMMUTING RATIONAL FUNCTIONS REVISITED Ben Gurion University, Israel

Abstract Let A and B be rational functions on the Riemann sphere. The classical Ritt theorem states that if A and B commute and do not have an iterate in common, then up to a conjugacy they are either powers, or Chebyshev polynomials, or Latt`es maps. This result however provides no information about commuting rational functions which do have a common iterate. On the other hand, non-trivial examples of such functions exist and were constructed already by Ritt. In the talk we present new results concerning this class of commuting rational functions. In particular, we describe a method which permits to describe all rational functions commuting with a given rational function.