Кафедра высшей алгебры

Докладчик: Жеглов Александр Борисович

«Нормальные формы для обыкновенных дифференциальных операторов»

Рассматривая кольцо обыкновенных дифференциальных операторов D_1=Kx[d] как подкольцо некоторого полного некоммутативного кольца $\hat{D}_1$ (отличного от известного кольца формальных псевдодифференциальных операторов!), нормальные формы дифференциальных операторов, упомянутых в заголовке, получаются после сопряжения на некоторый обратимый оператор («оператор Шура»), вычисляемый с помощью одного из операторов в кольце.

Нормальные формы коммутирующих операторов — это многочлены с постоянными коэффициентами в операторах дифференцирования, интегрирования и сдвига, имеющие конечный порядок по каждой переменной, и могут быть эффективно вычислены для любых заданных коммутирующих операторов. Согласно известной классификации (теорема Кричевера и ее различные обобщения), любое коммутативное подкольцо ОДО может быть закодировано в терминах спектральных данных, состоящих из неприводимой проективной кривой (может быть особой), спектрального пучка ранга r (пучок без кручения с нулевыми когомологиями) и некоторых дополнительных формальных данных.

Я расскажу о некоторых приложениях теории нормальных форм: эффективной параметризации пространства модулей спектральных пучков на проективной кривой, а также о соответствии между решениями уравнения струны [P,Q]=1 в кольце дифференциальных операторов (и в частности, в первой алгебре Вейля) и парами коммутирующих обыкновенных дифференциальных операторов ранга один. Решения уравнения струны в первой алгебре Вейля описывают всевозможные ее эндоморфизмы, и таким образом удается получить новые условия, выделяющие эндоморфизмы, не являющиеся автоморфизмами.

Совместное заседание научно-исследовательских семинаров

кафедр алгебры и теоретической информатики, посвященное памяти А.В. Михалёва.

ПРОГРАММА 16:45 Открытие семинара

17:00 Маркова О.В. «Функция длины алгебр».

17:30 Тензина В.В. «Топологически первичный радикал колец».

18:00 Голубков А.Ю. «Ортогональное пополнение алгебраических систем»,

Планируется трансляция по ЗУМ.

https://us05web.zoom.us/j/81629965224?pwd=yEyvMAUSTcTrerm02T7K91a2b0ju8V.1

Идентификатор конференции: 816 2996 5224 Код доступа: 271828

Докладчик: Хрыстик Михаил Андреевич

«Гипотеза Паза для матриц порядка 6»

Из теоремы Гамильтона-Кэли следует, что любой многочлен от матрицы может быть выражен многочленом от этой матрицы степени не выше n-1, где n - порядок матрицы. В 1984-м году А. Паз предположил, что любой многочлен от нескольких матриц порядка n может быть выражен многочленом от этих матриц степени не выше 2(n-1), и доказал свою гипотезу для n<5. В 2019-м году Я. Шитов доказал гипотезу Паза для n=5. В докладе же будет рассмотрен случай n=6.

семинар не состоится.

Докладчик А.С. Гордиенко

«Категорный подход к полиномиальным тождествам» (начало доклада в 16:55)

Традиционно под полиномиальным тождеством в некоторой алгебраической структуре A понимается такое формальное равенство f ≡ g двух элементов f и g соответствующей свободной алгебраической структуры, которое оказывается верным после подстановки произвольных элементов алгебраической структуры A вместо своих переменных. С другой стороны, в математике и физике находят своё применение и алгебраические структуры, операции в которых имеют вид линейных отображений между тензорными степенями пространства A, например, коалгебры, биалгебры, алгебры Хопфа, заплетённые векторные пространства, модули Йеттера—Дринфельда. Для таких алгебраических структур соответствующие свободные алгебраические структуры могут не существовать, как, например, не существует свободных коалгебр.

В докладе будет показано, что в традиционном определении полиномиального тождества неявно присутствует тривиальная структура комоноида, которая позволяет вводить тождества, не являющиеся полилинейными. Более того, будет рассказано, как, используя заплетённый аналог алгебраических теорий Ловира и ПРОПов Маклейна, ввести понятие (полилинейного) полиномиального тождества для произвольной Ω-магмы A в заплетённой моноидальной категории, а в случае, когда это категория линейна над некоторым полем, ввести и коразмерности тождеств. Наконец, будут приведены примеры вычисления коразмерностей и базиса тождеств в алгебрах Хопфа и модулях Йеттера—Дринфельда.

Докладчик М.В. Зайцев

«Тождества с инводюцией и их числовые характеристики»

С каждой алгеброй A над полем нулевой характеристики можно связать целочисленную последовательность (называемую последовательностью коразмерностей), характеризующую количество тождеств алгебры A. Если алгебра A наделена дополнительной структурой, например, градуировкой или инволюцией, то можно изучать гградуированные тождества или тождества с инволюцией. Точное значение членов этой последовательности удается вычислить чрезвычайно редко. Основное внимание в докладе будет уделено характеру асимптотического поведения последовательностей коразмерностей различных классов алгебр с дополнительной структурой.

Докладчик Гайфуллин С.А.

Доклад «О конечномерных однородных алгебрах Ли дифференцирований кольца многочленов».

Доклад основан на совместной работе с И.В. Аржанцевым и В.Е. Лопатиным.

Анонс: Рассмотрим алгебру многочленов от n переменных над полем нулевой характеристики. На этой алгебре есть естественная Z^n- градуировка при которой все переменные являются однородными и степень x_i равна e_i, то есть i-му вектору стандартного базиса Z^n. Мы рассматриваем дифференцирования этой алгебры. Дифференцирование называется однородным, если оно переводит однородные элементы в однородные. Несложно показать, что для любого однородного дифференцирования корректно определена его степень, то есть такой элемент Z^n, на который дифференцирование сдвигает градуировку. Несложно показать, что степень дифференцирования может быть либо -e_i (такие дифференцирования мы будем называть дифференцированиями I типа), либо имеет неотрицательные координаты (такие дифференцирования мы будем называть дифференцированиями II типа).

Известный факт, что дифференцирования образуют алгебру Ли относительно операции коммутирования. Нас интересует вопрос при каких условиях алгебра Ли, порождённая конечным числом однородных дифференцирований, конечномерна. Для дифференцирований типа I ответ на этот вопрос был получен ранее в работе Аржанцева-Лиендо-Стасюка. Ответ формулируется в терминах ориентированного графа, построенного по множеству порождающих дифференцирований. Условие конечномерности алгебры Ли равносильно ацикличности этого графа.

В докладе будет рассказано о решении данного вопроса в случае набора дифференцирований типа II. Критерий конечномерности также будет сформулирован в виде ацикличности некоторого ориентированного графа. Также будет рассказано про структуру получающихся конечномерных алгебр.

1. Петр Притуп «Инволюции в группах Шевалле над полями».

2. Константин Гордеев. «Эффективное вычисление разных классов симметрических функций». (Предзащита диплома) Анонс: В работе изучаются различные алгоритмы вычисления коэффициентов в разложении полиномов Шура и Джека по разным базисам симметрических функций. В том числе разобраны правило Мурнагана-Накаямы и вычисление определителя Якоби-Труди.

Ссылка на подключение https://us05web.zoom.us/j/81629965224?pwd=yEyvMAUSTcTrerm02T7K91a2b0ju8V.1 Идентификатор конференции: 816 2996 5224 Код доступа: 271828

в 16.45 онлайн.

В программе - предзащиты дипломов.

1. Киктева Вероника Владимировна Доказательство жёсткости алгебр с использованием ассоциированной градуированной алгебры

Абстракт: Алгебра называется жёсткой, если на ней не существует нетривиальных локально нильпотентных дифференцирований. По алгебре A с заданной фильтрацией можно построить ассоциированную с ней градуированную алгебру Gr(A). Оказывается, что некоторые свойства A можно восстановить по свойствам Gr(A). В частности, если A является конечно порождённой, то из жёсткости Gr(A) следует жёсткость A. Доклад содержит описание ассоциированных градуированных алгебр для аффинных алгебр с весовыми фильтрациями с использованием базисов Грёбнера и технику, позволяющую в некоторых случаях сводить исследование жёсткости алгебр к жёсткости уже изученных классов алгебр.

2. Воронин Андрей Константинович. Алгебра и комбинаторика симметрических функций Джека.

Резюме доклада:

В 1970 году шотландский математик Генри Джек ввел семейство симметрических многочленов, зависящих от параметра alpha, впоследствии названных его именем. Многочлены Джека естественным образом обобщают многочлены Шура (получаемые после некоторой нормировки при alpha=1) и зональные многочлены (получаемые при alpha=2).

Коэффициенты разложения многочленов Шура по степенному базису кольца однородных симметрических многочленов пропорциональны характерам неприводимых представлений симметрической группы (классический результат Шура). Коэффициентам разложения многочленов Джека по тому же базису также присущи некоторые свойства характеров, например, они ортогональны, поэтому их назвали характерами Джека.

Они образуют базис алгебры функций на диаграммах Юнга. Характеры Джека и связанные с ними алгебраические объекты активно изучаются последние десятилетия. В частности, установлено, что они являются многочленами с целыми коэффициентами от alpha, а также найдены явные формулы для их вычисления для некоторых разбиений.

В данном докладе будут представлены найденные формулы для определителя матрицы характеров Джека, в частности, его корни как многочлена от alpha, дана комбинаторная интерпретация их кратностей. Также вычислен второй столбец данной матрицы характеров.

В заключительном разделе исследованы матрицы перехода между мономиальным, степенным базисами и базисом полиномов Джека, в произведение которых раскладывается матрица характеров Джека. Найдены рекуррентные, а в некоторых случаях явные, формулы для вычисления элементов этих матриц.

Трансляция: https://us05web.zoom.us/j/81629965224?pwd=yEyvMAUSTcTrerm02T7K91a2b0ju8V.1 Идентификатор конференции: 816 2996 5224 Код доступа: 271828

Серова Р.В.

Название: Фактормногообразия якобианов

Аннотация: Мы доказываем, что фактор якобиана J компактной римановой поверхности C рода g ⩾ 5 при действии группы G не является унилинейчатым, и классифицируем все кривые рода 3 и 4, фактор якобиана которых является унилинейчатым.

Подсекция «Математическая логика, алгебра и теория чисел», направление «Алгебра» молодежной конференции «Ломоносов». Научно-исследовательский семинар кафедры высшей алгебры, понедельник 15 апреля, 16:45 Аудитория 13-02 Главное здание МГУ, Корпус А https://us05web.zoom.us/j/81629965224?pwd=yEyvMAUSTcTrerm02T7K91a2b0ju8V.1 Идентификатор конференции: 816 2996 5224 Код доступа: 271828

1. 16:45-17:00 Ларшин Михаил Леонидович (Национальный исследовательский университет «Высшая школа экономики», Москва) «Комбинаторные суммы с ограничениями на вычеты»

2. 17:05-17:20 Чирков Михаил Анатольевич (Ярославский государственный университет им. П.Г. Демидова, Ярославль) «Изучение функции роста комплексной n-значной динамики»

3. 17:25-17:40 Евсеев Илья Михайлович (Московский государственный университет имени М.В.Ломоносова, Москва) «Проблема Уонга для многомерных (-1,1)-матриц малых размерностей и порядков»

4. 17:45-18:00 Завадский Андрей Олегович (Московский государственный университет имени М.В.Ломоносова, Москва) «Алгебры Ли, задаваемые касательными направлениями к однородным проективным многообразиям»

5. 18:05-18:20 Нестеров Александр Сергеевич (Брянский государственный университет имени академика И.Г. Петровского, Брянск) «О $\sigma_{_{\Omega}}$-расслоенных формациях конечных групп»

6. 18:30-18:45 Новикова Диана Геннадьевна (Брянский государственный университет имени академика И.Г. Петровского, Брянск) «О сопряженности $\frak F^{\omega}$- инъекторов конечных групп»

7. 18:50-19:05 Кучеренко Александр Игоревич (Московский государственный университет имени М.В.Ломоносова, Москва) «Алгебры ветвления особых простых групп Ли»

8. 19:10-19:25 Цыбин Игорь Андреевич (Кубанский государственный университет, Краснодар) «Об одном вопросе, связанном с полумодулярностью решёток подгрупп конечных групп»

1 апреля вместо семинара будем слушать пленарные доклады на конференции в честь В.А. Садовничего

2 апреля состоялось заседание подсекции алгебры конференции «Математика в созвездии наук»

14:30 – 14:55 Коразмерности тождеств конечномерных алгебр М. В. Зайцев, профессор, МГУ имени М. В. Ломоносова

14:55 – 15:20 Характеризация счетно-дедекиндова расширения решеточного линейного пространства непрерывных ограниченных функций посредством порядковых границ В. К. Захаров, профессор, МГУ имени М. В. Ломоносова

Циклические матрицы как образующие матричных алгебр

15:55 – 16:20 Стандартные базисы идеалов свободных алгебр Ли и свободных (p-)супералгебр Ли

Изоморфизмы полугрупп обобщенных бинарных отношений И. Б. Кожухов, профессор, Национальный исследовательский университет «МИЭТ», МГУ имени М. В. Ломоносова

17:10 – 17:35 О просто приводимых конечных группах И. А. Чубаров, доцент, МГУ имени М. В. Ломоносова

17:35 – 18:00 Топологически первичный радикал колец В. В. Тензина, ведущий научный сотрудник, МГУ имени М. В. Ломоносова

Доклад Никиты Монченко.

Монченко Н.М. Название: Точные категории и структуры: классификация и производные эквивалентности Аннотация: Точные категории былы введены Квилленом в 70-е годы прошлого века для определения алгебраической К-теории. С тех пор они стали важным инструментом современной гомологической алгебры, алгебраической геометрии и многих других разделов математики. Формализм точных категорий позволяет развить методы классической гомологической алгебры и производных категорий на существенно более широкий контекст. Точная категория, вообще говоря, является парой категории и дополнительной структуры на ней (в отличие, например, от абелевой категории). Мы обсудим вопрос классификации точных структур на аддитивной категории, различные подходы к этой проблеме. Если время позволит, мы затронем вопрос производной эквивалентности двух точных структур на одной категории.

16:45 - 17:20 Открытие семинара. И.А. Кострикин, М.В. Зайцев, И.А. Чубаров

17:20 - 17:50. А.С. Джумадильдаев, академик НАН Казахстана (Алматы). Algebras constructed by Baxter operator.

Резюме. For an algebra $A$ with Baxter operator $R$ we consider algebra $AR$ with linear space $A$ endowed by multiplication $a\circ b=a R(b).$ For example, an associative algebra $A=K[x]$ under Baxter operator $R(a)=\int_0^x a dx$ gives us Zinbiel algebra. We construct base identities of algebra $AR$ constructed by associative commutative algebra $A$ under Baxter operator $R$ with nonzero weight.

17:55 - 18:25. А.И. Бондал. Гипотеза Винни-Пуха: развитие сюжета.

18:25 - 18:45. А.А. Клячко. О проблеме Бернсайда.

18:50 - 19:10. М.И. Кузнецов (Нижегородский Госуниверситет). Алексей Иванович Кострикин и классификация простых модулярных алгебр Ли.

19:10 - 19:30. Ф.М. Малышев. Реализация подстановок четной степени произведениями трех инволюций без неподвижных точек.

.pdf

Будет организована трансляция по зуму. Желающие смогут высказаться.

Войти Zoom Конференция https://us05web.zoom.us/j/81629965224?pwd=yEyvMAUSTcTrerm02T7K91a2b0ju8V.1

Идентификатор конференции: 816 2996 5224 Код доступа: 271828

После окончания докладов - вечер воспоминаний (оффлайн).

Семинар 4 марта посвящается 90-летию со дня рождения Виктора Николаевича Латышева и 100-летию со дня рождения Льва Анатольевича Скорнякова 16:45 Открытие семинара М.В.Зайцев, И.А.Чубаров.

17:00 С.В.Пчелинцев «Сингулярные супералгебры».

17:25 А.А.Туганбаев «О проблемах Скорнякова и Кёте».

17:45 С.А.Абрамов, Г.Погудин «О линейных рекуррентных уравнениях с бесконечными последовательностями в роли коэффициентов».

18:10 А.Я.Канель-Белов «О проблемах В.Н.Латышева».

18:35 В.В.Борисенко «О семинаре В.Н.Латышева по PI-кольцам».

19:00 Краткие выступления, воспоминания

Планируется трансляция по ЗУМу, отдаленные участники смогут высказаться https://us05web.zoom.us/j/81629965224?pwd=yEyvMAUSTcTrerm02T7K91a2b0ju8V.1 Идентификатор конференции: 816 2996 5224 Код доступа: 271828

Трушин А.Н. «Автоморфизмы градуированных алгебр и торальных многообразий»

Аннотация. Рассмотрим A = K[x,y,z] — алгебру многочленов от трёх переменных и её группу полиномиальных автоморфизмов. Линейные автоморфизмы и автоморфизмы вида (x, y, z) —> (x + f(y,z), y, z) называются элементарными. В 2004 году Шестаков И.П. и Умирбаев У.У. показали, что автоморфизм Нагаты алгебры A не представляется в виде композиции элементарных, то есть является диким. Мы рассмотрим автоморфизмы , сохраняющие целочисленную градуировку, то есть однородные относительно действия некоторого одномерного тора. Для данной градуировки мы докажем критерий существования дикого автоморфизма, а также построим системы порождающих для тех градуировок, которые допускают дикие автоморфизмы. Для торальных многообразий, то есть многообразий, являющихся подмногообразиями тора, мы покажем, как можно вычислить группу автоморфизмов в некоторых случаях.

Михалев А.А. «Алгебры с одним определяющим соотношением»

Аннотация. Рассматриваются свойства алгебр, заданных одним определяющим соотношением в многообразиях линейных алгебр над полями. Основное внимание будет уделено шрайеровым многообразиям алгебр, в которых подалгебры свободных алгебр свободны.

Гордиенко А.С. «Квантовые симметрии и поднятие локально отталкивающих объектов».

Аннотация. Когда аффинная алгебраическая группа действует на аффинном алгебраическом многообразии, алгебра регулярных функций на многообразии является коммутативной комодульной алгеброй над коммутативной алгеброй Хопфа регулярных функций на группе и модульной алгеброй над (являющейся кокоммутативной алгеброй Хопфа) универсальной обёртывающей алгебры Ли данной группы. Такие действия называются классическими симметриями. В случае же когда необязательно (ко)коммутативная алгебра Хопфа (ко)действует на необязательно коммутативной алгебре, можно говорить о квантовых симметриях (возможно, некоммутативного) многообразия.

При классификации квантовых симметрий находят своё применение универсальная группа градуировки, введённая И. Патерой и Х. Цассенхаузом, универсальные алгебры Хопфа заданной (ко)модульной структуры, а также универсальные (ко)действующие биалгебры и алгебры Хопфа Ю.И. Манина - М. Свидлера - Д. Тамбары. Все перечисленные объекты являются универсальными отталкивающими и притягивающими объектами в соответствующих категориях. Однако в общем случае такие объекты существуют далеко не всегда, и, чтобы обеспечить их существование, вводится понятие носителя, которое обобщает понятие носителя градуировки и используется для того, чтобы задать ограничение на рассматриваемые объекты. При этом сами задачи о существовании универсальных объектов становятся частными случаями задачи о поднятии локально отталкивающего объекта, которая несложно формулируется на чисто категорном языке. На этом же языке можно сформулировать и теорему двойственности между универсальными действующим и кодействующим объектами. Существование поднятия локально отталкивающего объекта также оказывается возможным доказать категорно, наложив на базовую заплетённую или симметрическую моноидальную категорию некоторые условия.

В качестве следствий, когда базовая категория является категорией векторных пространств над полем, множеств или двойственной к ним, получаются уже известные результаты о существовании вышеперечисленных универсальных объектов и двойственности между ними. Разработанная теория применяется и в новых случаях, в частности, когда базовая категория сама является категорией модулей над кокоммутативной алгеброй Хопфа, комодулей над коммутативной алгеброй Хопфа, категорией модулей Йеттера-Дринфельда, градуированных множеств или множеств с действием группы.

(Часть совместного проекта с А. Агоре и Й. Веркрёйссе.)

Поанируется трансляция по ЗУМ,

https://us05web.zoom.us/j/89513221944?pwd=aYPIFEa7X2EfLXoFGNKQognWE0c7yg.1

Идентификатор конференции: 895 1322 1944 Код доступа: 271828

Докладчик: Михаил Михеенко

Разрешимость уравнений над группами

Аннотация:

Уравнение над группой G называется разрешимым над G, если G вкладывается в некоторую группу, содержащую решение данного уравнения. Аналогично определяется разрешимость системы уравнений над группой. В докладе будет дан небольшой обзор тематики разрешимости уравнений (и систем уравнений) над группами. Будут приведены классические результаты, посвящённые этому вопросу. Возможно, также будут упомянуты новые результаты, полученные докладчиком совместно с А. А. Клячко и В. А. Романьковым.

Вероятно, будет трансляция по ЗУМ,

https://us05web.zoom.us/j/89513221944?pwd=aYPIFEa7X2EfLXoFGNKQognWE0c7yg.1

Идентификатор конференции: 895 1322 1944 Код доступа: 271828

А.А. Клячко «Вербально замкнутые подгруппы».

Семинар, посвящённый памяти А.В. Михалёва.

Заседание семинара будет транслироваться в Zoom по ссылке:

https://us02web.zoom.us/j/83114908222?pwd=WG1DcURSVlhiZWk1MUdXek5HVVdWdz09

Идентификатор конференции: 831 1490 8222 Код доступа: 213677

Трансляция будет идти без перерывов!

ПРОГРАММА СЕМИНАРА

16:45 Открытие семинара

17:00 Благовещенская Екатерина Анатольевна, Петербургский государственный университет путей сообщения им. императора Александра I, Санкт-Петербург «Матричные представления и прямые разложения колец эндоморфизмов абелевых групп без кручения»

17:30 Балаба Ирина Николаевна, Тульский государственный педагогический университет им. Л.Н.Толстого «Вокруг проблемы Бэра-Капланского»

18:00 Главацкий Сергей Тимофеевич, механико-математический факультет МГУ имени М.В.Ломоносова «Конструкции топологических колец и модулей»

18:30 Ширшова Елена Евгеньевна, Московский государственный педагогический университет «Частично псевдоупорядоченные кольца»

19:00 Лебедев Анатолий Николаевич, эксперт по информационной безопасности, компания Аладдин, «Обобщения протокола Диффи-Хеллмана, связанные с А.В.Михалевым и В.Т.Марковым»

19:30 Неформальные обсуждения

Семинар, посвящённый 75-летию со дня рождения В.Т. Маркова. (на 2 пары, начиная с 16:45)

Заседание семинара будет транслироваться в Zoom,

https://us02web.zoom.us/j/8346641972?pwd=MWtFMTRVTUFXL3hxU2pQOUp0cVFZUT09

(идентификатор 834 664 1972, кд 314159) с 16:45

Сначала в 16.45 подключаемся по стандартной ссылке, а сразу после окончания этой конференции по новой ссылке:

     Zoom Конференция

https://us05web.zoom.us/j/89513221944?pwd=aYPIFEa7X2EfLXoFGNKQognWE0c7yg.1

Идентификатор конференции: 895 1322 1944 Код доступа: 271828

По окончании трансляции этой конференции сразу подключаемся по старой ссылке и т.д. чередуем до окончания официальной части семинара

Докладчики:

Михаил Владимирович Зайцев,

Аскар Аканович Туганбаев,

Ольга Викторовна Маркова

Виктория Васильевна Тензина,

Евгений Сергеевич Кислицын,

Анатолий Николаевич Лебедев

Докладчик Горницкий Андрей Александрович

SAGBI базисы и правила ветвления простых алгебр Ли

Аннотация:

Как известно, базис Гребнера идеала алгебры многочленов является мощным вычислительным средством. Аналогичным понятием для подалгебры алгебры многочленов является SAGBI базис. В докладе планируется кратко обсудить понятие SAGBI базиса, а также подход Э.Б. Винберга, позволяющий построить и использовать такие базисы в теории представлений простых комплексных алгебр Ли. В частности, этот подход позволяет описать ранее неизвестные правила ветвления.

Докладчик Царегородцев Кирилл Денисович

«Правильные семейства дискретных функций: эквивалентные определения и свойства» / «Proper families of discrete functions: equivalent definitions and properties».

Аннотация:

В последнее время растет интерес к использованию в криптографических (и теоретико-кодовых) приложениях некоммутативных и неассоциативных алгебраических структур (в частности, квазигрупп).

Задание квазигруппы в виде «таблицы умножения» непрактично, поскольку размер требуемой для её хранения памяти растет крайне быстро при росте «длины» перемножаемых элементов.

Одним из возможных вариантов обойти это ограничение является функциональное задание квазигрупповой операции, при котором координаты произведения (z_1, …, z_n) задаются функциями от координат сомножителей: z_i = f_i(x_1, …, x_n, y_1, …, y_n).

Для функционального задания квазигрупповых операций В. Носовым в 1999 году было введено понятие правильного семейства (булевых) функций. Исходное определение было расширено сначала на случай прямого произведения абелевых групп, а затем и на более общие алгебраические структуры.

В докладе мы рассмотрим исходное определение понятия правильного семейства, некоторые примеры таких семейств, а также результаты, полученные в последние годы: альтернативные характеризации правильных семейств (с более «геометрических» точек зрения), некоторые их свойства (оценки на количество правильных семейств, результаты о конкретных классах правильных семейств).

Доклад Михаила Андреевича Хрыстика

«Длины групповых алгебр».

Анонс:

Длиной конечномерной ассоциативной алгебры называется минимальное k, такое что, для любой её системы порождающих S, любой элемент алгебры выражается в виде линейной комбинации произведений элементов S, состоящих не более, чем из k множителей.

В докладе будут рассмотрены результаты исследований длин групповых алгебр для абелевых групп, диэдральных групп и групп малых порядков.

Доклад И.А.Чубарова

«Групповой детерминант: от Дедекинда и Фробениуса до В.М.Бухштабера»

1. Доклад доцента Д.А.Тимашева , аспиранта Р.О.Стасенко

Короткие SL(2)-структуры и линейные представления йордановых алгебр.

Краткий анонс.

Известна классическая конструкция Титса–Кантора–Кёхера, позволяющая по простой йордановой алгебре J построить простую алгебру Ли $\mathfrak{g}$, имеющую вид: \begin{equation*}

 \mathfrak{g} =\mathfrak{der}(J)\oplus\mathfrak{sl}_2(J).

\end{equation*} Теорема Титса–Кантора–Кёхера утверждает, что между простыми йордановыми алгебрами и простыми алгебрами Ли, удовлетворяющими описанной выше формуле, существует взаимно однозначное соответствие.

Конструкцию Титса–Кантора–Кёхера можно интерпретировать как линейное представление алгебры Ли $\mathfrak{sl}_2$ автоморфизмами алгебры Ли $\mathfrak{g}$, которое разлагается на неприводимые представления размерностей 1 и 3. Естественным обобщением является следующее понятие. Пусть $S$ — редуктивная алгебраическая группа. $S$-структурой на алгебре Ли $\mathfrak{g}$ называется гомоморфизм $\Phi:S\rightarrow \operatorname{Aut}(\mathfrak{g})$.

В докладе рассматриваются $SL_2$-структуры. $SL_2$-структуру назовем короткой, если представление $\Phi$ группы $SL_2$ разлагается на неприводимые представления размерностей 1, 2 и 3. При этом изотипное разложение представления $\Phi$ будет иметь вид: $$ \mathfrak{g} = \mathfrak{g}_0\oplus\bigl(\mathbb{C}^2\otimes J_1\bigr)\oplus \bigl(\mathfrak{sl}_2\otimes J_2\bigr).$$ Конструкция Титса–Кантора–Кёхера получается при $J_1=0$. Доклад будет посвящён случаю $J_1\neq 0$.

Аналогично теореме Титса–Кантора–Кехера, автором установлено взаимно однозначное соответствие между простыми алгебрам Ли с короткой $SL_2$-структурой с $J_1\neq 0$ и так называемыми простыми симплектическими структурами Ли–Йордана $\left(\delta_0; \mathfrak{g}_0; J_; J_2\right)$, где $J_1$ —– симплектическое пространство, $\mathfrak{g}_0$ —– редуктивная подалгебра Ли в $\mathfrak{sp}(J_1)$, а $J_2$ –— простая йорданова подалгебра симметрических операторов на $J_1$, а $\delta-0$ — некоторое билинейное симметрическое отображение.

Короткие и очень короткие $SL_2$-структуры можно аналогичным образом задавать на произвольных $\mathfrak{g}$-модулях, используя соответствующее линейное представление алгебры Ли $\mathfrak{g}$. Подобная конструкция имеет интересные приложения к теории представлений йордановых алгебр, о которых также будет рассказано в докладе.

2. Доклад профессора А.Э.Гутермана , студента А.В.Власова

Об индексе цикличности матриц и графов.

Аннотация: Индекс цикличности — инвариант тропических матриц, определяемый при помощи взвешенных орграфов. В докладе будут рассмотрены линейные отображения, сохраняющие индекс цикличности, а также отображения, сохраняющие индекс цикличности 1 и 2. Будет доказано, что эти два класса совпадают, и получено их полное описание.

Доклад Николая Александровича Вавилова (МКН СПбГУ)(в аудитории 1302 в 16.45) ОГРАНИЧЕННОЕ ПОРОЖДЕНИЕ ГРУПП ШЕВАЛЛЕ, ALMOST THERE (по совместным работам с Борисом Кунявским, Андреем Лавреновым и Евгением Плоткиным).

Мы обсуждаем ограниченное элементарное порождение групп Шевалле над дедекиндовыми кольцами R арифметического типа. Ван дер Каллен привел примеры, показывающие, что, вообще говоря, на ограниченное порождение нельзя надеяться даже для совсем простых одномерных колец. Для числового случая из работ Картера, Келлера, Тавгеня (и других) известно, что группы ранга \ge 2 ограничено порождены. Недавно Морган, Рапинчук и Сури дорешали случай группы SL_2 в предположении, что R^* бесконечна.

Развивая идею Ники, ранее мы доказали, что группы ранга \ge 2 над кольцом многочленов F_q[t] ограничено порождены. В этом году нам удалось почти полностью завершить рассмотрение функционального случая. А именно, совмещая технику работ Троста об ограниченной порожденности SL(n,R) и наших работ нам удалось доказать, что все НЕСИМПЛЕКТИЧЕСКИЕ группы Шевалле ранга \ge 2 над дедекиндовыми кольцами арифметического типа ограничено порождены и в функциональном случае.

Мы наметим план доказательства, использующий стабилизацию в алгебраической K-теории, символы, и некоторые явные арифметические соображения, которые позволяют получить оценки, не зависящие от q, — кстати, наши методы дают улучшение известных оценок и в числовом случае.

Будет упомянуто также о связи с ограниченной вербальной шириной, приложениях в теории моделей и некоторых дальнейших задачах.

Шашков Олег Владимирович

«Правоальтернативные супералгебры с ограничением на четную часть»

Планируется трансляция по обычной ссылке 834 664 1972, пароль 314159

Доклад

«Модифицированные инварианты Макар-Лиманова и Дерксена»

Докладчик С.А.Гайфуллин (по совместной работе с А.А. Шафаревичем).

Пусть A – коммутативная ассоциативная алгебра с единицей над полем k. В 1996 году Л. Макар-Лиманов ввёл в рассмотрение канонически определяемую подалгебру в A, равную пересечению всех ядер локально нильпотентных дифференцирований (ЛНД) на A. Этот инвариант, в последствии названный инвариантом Макар-Лиманова, позволил различить кубику Краса-Расселла (x+x^2y+z^2+t^3=0) и трёхмерное аффинное пространство, что было важным шагом в доказательстве линеаризуемости действия одномерного тора на трёхмерном пространстве. Х. Дерксен предложил другой инвариант, основанный на ЛНД, а именно, он предложил рассматривать подалгебру, порождённую всеми ядрами ЛНД. Эта подалгебра получила название инварианта Дерксена. Было доказано, что инвариант Дерксена также различает кубику Краса-Расселла и трёхмерное аффинное пространство.

В 2017 году Ж. Фройденбург предложил рассмотреть модификации этих инвариантов. А именно, использовать не все ЛНД, а только ЛНД со слайсом (то есть такие, что в их образе лежит единица). Модифицированный инвариант Макар-Лиманова был использован Н. Гуптой и Н. Дасгуптой в их характеризация трёхмерного аффинного пространства с помощью автоморфизмов.

В докладе будет доказано, что в случае, когда поле k алгебраически замкнуто и нулевой характеристики, а алгебра A конечно порождена, модифицированный инвариант Макар-Лиманова либо тривиален (то есть совпадает с A), либо совпадает с (обычным) инвариантом Макар-Лиманова. По сути это означает, что использование модифицированного инварианта Макар-Лиманова не даёт ничего нового. Также будет построен пример такой алгебры, для которой остальные инварианты (то есть инварианты Макар-Лиманова, Дерксена и модифицированный инвариант Макар-Лиманова) тривиальны, а модифицированный инвариант Дерксена не тривиален.

Семинар пройдёт в аудитории 15-03.

Планируется также трансляция в Zoom. Идентификатор конференции: 834 664 1972, код доступа: 314159

Александра Андреевна Гаража

Об инвариантах Жордана–Кронекера пары элементов алгебры Ли

Поиск вполне интегрируемых гамильтоновых систем является одной из важных проблем гамильтоновой механики. Благодаря работам Магри и других стало понятно, что интегрируемость гамильтоновых систем тесно связана с их бигамильтоновой природой, то есть с наличием не одной, а двух согласованных скобок Пуассона. Мы будем изучать простейший случай, когда одна скобка линейная, а вторая — постоянная. А именно, рассмотрим классическую простую алгебру Ли g и определим на ней две скобки Пуассона: классическую скобку Ли-Пуассона { , } и скобку «с замороженным аргументом» { , }_A, которую можно построить по каждому элементу A ∈ g. Зададимся вопросом о поиске полной системы функций в биинволюции относительно этих скобок. В общем случае этот вопрос открыт, но если элемент A регулярен, то ответ дает метод сдвига аргумента Мищенко–Фоменко.

Оказывается, этот метод можно рассматривать как частный случай более общего (алгебраического) подхода. А именно, на скобки Пуассона можно смотреть как на некоторые кососимметрические билинейные формы, и тогда наша задача сводится к построению базиса билагранжева подпространства и его последующему интегрированию. Я расскажу как с помощью этого подхода построить полные системы функций в биинволюции для всех элементов A из sl(n) и sp(2n) и для некоторых A из so(2n+1) и so(2n).

Михаил Владимирович Зайцев

Максимальные PI-экспоненты конечномерных алгебр

Известно, что в классе конечномерных ассоциативных или лиевских алгебр равенство размерности и PI-экспоненты равносильно простоте алгебры. В докладе построена серия примеров конечномерных алгебр, у которых PI-экспонента совпадает с размерностью. При этом все эти алгебры не являются простыми. Доклад будет в 1302.

Планируется также трансляция по Зум по 834 664 1972, пароль 314159

Заседание, посвящённое памяти Алксандра Васильевича Михалёва

Конференция центров (МГУ и МИАН):

• секция алгебры,
• секция алгебраической геометрии.

Антон Андреевич Шафаревич Группа автоморфизмов торальных многообразий

Святослав Вадимович Дженжер и Аркадий Борисович Скопенков

Минимизация ранга восполнением матриц и квадратичная оценка в гипотезе Кюнеля

Восполнение матриц — задача восстановления недостающих элементов в матрице, известной только частично. Пропущенные элементы матрицы заполняются так, чтобы минимизировать ранг восполненной матрицы. Данная задача возникает, например, в задаче Netflix из машинного обучения. Мы рассмотрим более общую задачу, в которой известны не отдельные элементы матрицы, а некоторые линейные соотношения на эти элементы.

Это позволяет получить квадратичную оценку в следующей гипотезе Кюнеля. Её маломерный аналог, неравенство Хивуда, утверждает, что если полный граф на n вершинах вложим в сферу с g ручками, то g⩾(n-3)(n-4)/12. Гипотеза Кюнеля в упрощённой форме утверждает, что для любого натурального k существует положительная константа c_k такая, что если объединение k-мерных граней n-мерного симплекса вложимо в связную сумму g копий декартовых произведений двух k-мерных сфер, то g > c_k·n^k+1. Для k > 1 были известны только линейные оценки.

Заседания не будет.

С. А. Жилина

Комбинаторные свойства бинарных отношений на вещественных алгебрах Кэли-Диксона

Аннотация. Один из методов визуализации бинарного алгебраического отношения R — построение соответствующего ему графа. Вершинам графа соответствуют элементы рассматриваемой алгебраической структуры, причём существует ребро из x в y, если и только если xRy. Графы отношений, определённые на объектах заданной категории, несут в себе большое количество информации. В некоторых случаях удаётся даже решить проблему изоморфизма, то есть показать, что объекты этой категории изоморфны тогда и только тогда, когда изоморфны их графы отношений. Наиболее распространённые графы отношений включают в себя графы коммутативности, ортогональности и делителей нуля. Цель данного исследования — изучение этих графов для произвольных вещественных алгебр Кэли-Диксона.

Начиная с размерности 16, алгебры Кэли-Диксона неальтернативны, поэтому в них появляются делители нуля, которые, за исключением некоторых частных случаев, тяжело поддаются изучению и классификации. На настоящий момент большая часть работ посвящена алгебрам главной последовательности, в которых все параметры процедуры Кэли-Диксона подразумеваются равными -1. Среди них стоит отметить работы Морено, где впервые были рассмотрены дважды альтернативные делители нуля, то есть такие элементы, обе компоненты которых являются альтернативными элементами предыдущей алгебры последовательности.

В докладе будут изложены следующие результаты:

1. Установлены свойства делителей нуля в произвольных вещественных алгебрах Кэли-Диксона, компоненты которых удовлетворяют некоторым дополнительным условиям на норму и альтернативность. Такие делители нуля образуют шестиугольные структуры в графах ортогональности и делителей нуля. В случае алгебр главной последовательности, эти шестиугольники могут быть продолжены до так называемых двойных шестиугольников, причём вершины каждого двойного шестиугольника имеют удобную таблицу умножения.

2. Найдены структура и числовые характеристики, в частности, диаметры и клики, графов коммутативности, ортогональности и делителей нуля для вещественных алгебр Кэли-Диксона малых размерностей: контроктонионов, контрседенионов и седенионов.

3. Решена проблема изоморфизма для графов ортогональности вещественных алгебр Кэли-Диксона, вершинами которых являются пары базисных элементов.

Запланирована трансляция в зум по ссылке:

https://us02web.zoom.us/j/85961746491

Идентификатор конференции: 859 6174 6491

Код доступа: первые 6 чисел Фибоначчи

А. В. Тимофеенко (Красноярск)

О группах с условиями конечности и многогранниках с условиями симметричности

Аннотация. Посвящается 90-летию Владимира Петровича Шункова (1932-2011).

Из Вселенной групп и многогранников из названия доклада речь в основном будет идти о развиваемых сегодня конструкциях финитно аппроксимируемых конечно порождённых $p$-группах Е.С.Голода (1964,1968) и С.В.Алёшина (1972), а также выпуклых многогранниках с паркетными и быть может равноугольными гранями. Паркетным называется выпуклый многоугольник, составленный из конечного и большего одного равноугольных многоугольников, которые будем называть паркетоугольниками. Если вершине паркетоугольника приписать число сторон правильного многоугольника, угол которого равен углу паркетоугольника в данной вершине и упорядочить набор таких чисел, двигаясь от вершины к вершине по соединяющему их ребру, то полученный список называют типом паркетоугольника. Давно известны все 23 типа паркетоугольников, но известны с точностью до подобия паркетогранники, допускающие кроме правильных паркетные грани только пяти типов (А.М.Гурин, В.А.Залгаллер, А.В.Тимофеенко, 2008-2011). Почти полвека известно (Ю.А.Пряхин, 1974), что кроме четырёх бесконечных серий существует лишь конечное число типов паркетогранников, но каково это число и, тем более, каковы типы неизвестно.

Возможна трансляция по Зуму,

Подключиться к конференции Zoom https://us02web.zoom.us/j/8346641972?pwd=MWtFMTRVTUFXL3hxU2pQOUp0cVFZUT09

Идентификатор конференции: 834 664 1972 Код доступа: 314159

И. А. Чубаров

О костепенях характеров конечных групп

Архив