Кафедра высшей алгебры

Преподаватель Гордиенко Алексей Сергеевич

Контрольные домашние задания выполняются в отдельной тетради и являются частью зачёта.

Задание N1

1) определители 2×2 и 3×3, правило Крамера, операции над матрицами: 9.1(а,б,в,г), 9.2(б,в), 8.6(б,д), 17.1(б,г), 17.2(б), 17.4(а,б).

Упражнение. Пусть A - матрица размера m x n. Обозначим через E_n единичную матрицу размера n x n. Доказать, что E_m A = A E_n = A.

2) решение систем линейных уравнений методом Жордана-Гаусса, фундаментальная система решений: 8.1(б,г,е) + найти ф.с.р. соответствующей однородной системы, 8.2(б), 8.4(б,в).

3) транспонирование, матричные единицы, многочлены от матриц, перестановочные матрицы: 17.5(б); доказать, что (AB)^T=B^T A^T; 17.6, 17.14-17.17.

4) ранг системы столбцов: 6.1, 6.2(б), 6.4, 6.6, 6.12(в,г,д), 6.13, 6.14, 8.25.

5) ранг матрицы: 7.1(в,г,д), 7.2(г,ж*,з*), 7.4, 7.5, 7.6, 7.7, 7.10, 7.11.

Срок сдачи домашнего задания N1 - на контрольной работе N1.

Задание N2

6) подстановки и перестановки: 3.1(в,г), 3.2(в,г,д,е), 3.3(б,в), 3.4(б), 3.5(в,г,д,е), 3.6(в,г,д,е), 3.8, 3.9, 3.11, 3.14, 3.15, 3.16.

7) определители: 10.1(б), 10.4(г,д), 11.5, 11.7, 11.10(г,д), 12.3(д-з), 13.1(в,д,ж,и,л,р,с), 13.2(г,д,е), 13.3, 7.8, 17.18.

8) обратная матрица, матричные уравнения: 18.1(б), 18.3(б,г,д,и), 18.8(в,г,к), 18.9(з,и), 18.14, 18.21, 7.18.

9) комплексные числа, формулы Муавра, рекуррентные соотношения: 20.1(б,е,ж), 20.4(б), 20.6, 21.1(в,г,е,ж,з), 21.5(а), 21.9(б), 22.7(в,г,д,н), 22.11, 22.12(а,б), 15.3, 4.1, 14.1(а,б,в,н,о).

Срок сдачи домашнего задания N2 - на контрольной работе N2.

Задание N3

10) понятие группы, порядок элемента, подгруппы, циклические группы: 55.1(г-к), 55.5(а-и), 55.6(в-з), 56.1, 56.3(б,г,д), 56.6(а,в,г), 56.10, 56.15(б,в,ж), 56.16(б,д).

11) кольцо, обратимые элементы, делители нуля и нильпотентные элементы кольца, поле: 63.1(а-з), 63.2(в,г), 63.11(а,з), 66.4, найти 3^{-1} в Z_{13}, 66.24(а,б).

12) деление многочленов в столбик, алгоритм Евклида, схема Горнера, разложение многочленов на множители: 26.1(в,г), 26.3(в,г), 26.2(в), 25.1(б), 25.3(б), 25.7(б,в,г), 25.2(б,в,г), 25.8(б) (над R и C), 27.1(в), 27.2(а), 26.8, 28.4; доказать неприводимость многочлена x^n-2 над полем Q.

13) рациональные дроби: 29.1(д,ж,к), 29.2(б,ж,и).

14) симметрические многочлены и формулы Виета: 31.2(б), 31.3(б), 31.9(б,г,д), 31.10(б,в).

15) результант и дискриминант: 32.1(б)*, 32.2(б)*, 32.3(б)*, 32.4*, 32.7(б,в,г)*.

Срок сдачи домашнего задания N3 - на контрольной работе N3.

Задания, отмеченные знаком *, являются необязательными.

Литература: Сборник задач по алгебре / под ред. А.И. Кострикина, изд. 3-е. М.: Физматлит, 2001.