Алгебра, 3 семестр, мехмат МГУ, домашнее задание
Преподаватель Гордиенко Алексей Сергеевич
Контрольные домашние задания выполняются в отдельной тетради и являются частью зачёта.
Задание N1
1) подгруппы, смежные классы, автоморфизмы: 56.2, 56.32(а,б), 56.36(в,д), 56.38, 56.44, 55.30, 55.31(г,д*).
2) нормальные подгруппы, гомоморфизмы, факторгруппы, центр: 58.3, 58.4(а), 58.17, 58.19(б,в), 58.23(а,б,в), 58.27(в,г,д), 58.39, 58.40.
3) прямые произведения и прямые суммы, абелевы группы: 60.1, 60.2(в,г), 60.5(б,в), 60.20(в,е-л), 60.22, 60.23, 60.24(а,б), 60.45(б).
4) порождающие элементы и определяющие соотношения: 61.3, 61.14, 61.26, 61.28(б), 61.30.
Упражнения (см. презентацию ниже):
а) Показать, что i в определении свободной группы F(X) через универсальное свойство является инъективным отображением и что группа F(X) определена однозначно с точностью до изоморфизма, сохраняющего образы элементов x из F(X).
б) Доказать ассоциативность в комбинаторном определении свободной группы.
в) Показать, что два определения свободной группы эквивалентны.
Свободные группы, порождающие и определяющие соотношения
5) конечно порождённые абелевы группы: 60.42(в,г), 60.50, 60.51, 60.52(в,г,е), 60.53.
6) действие группы на множестве: 57.1(в), 57.2(а), 57.8, 57.9(а,в), 57.25(а), 57.33, 57.30(а,б), 57.23(б), 58.21, 58.35.
Срок сдачи домашнего задания N1 - на контрольной работе N1.
Задание N2
7) коммутант и разрешимость: 62.1(в,г), 62.8, 62.11(а,б,г), 62.12(д), 62.19, 62.20, 62.21.
8) теоремы Силова: 59.12, 59.16, 59.18, 59.19, 59.20(в), 59.22(в,д), 62.18(б,г,д).
9) представления групп: 69.16, 69.22, 69.24, 69.28, 70.2(а,г,д,е), 70.17, 70.29, 70.34(г,д), 70.35(в,г), 70.37(б).
10) идеалы, гомоморфизмы, факторкольца: 64.2(б), 64.4, 64.6, 64.10, 64.11, 64.12, 64.49, 64.50, 64.53.
11) расширения полей: 67.4, 67.5, 67.6, 67.8, Aut(GF(p^n))=<σ>, где σ(x)=x^p.
Срок сдачи домашнего задания N2 - на контрольной работе N2.
Задания, отмеченные знаком *, являются необязательными.
Литература: Сборник задач по алгебре / под ред. А.И. Кострикина, изд. 3-е. М.: Физматлит, 2001.