Преподаватель Гордиенко Алексей Сергеевич

Контрольные домашние задания выполняются в отдельной тетради и являются частью зачёта.

Задание N1

1) подгруппы, смежные классы, автоморфизмы: 56.2, 56.32(а,б), 56.36(в,д), 56.38, 56.44, 55.30, 55.31(г,д*).

2) нормальные подгруппы, гомоморфизмы, факторгруппы, центр: 58.3, 58.4(а), 58.17, 58.19(б,в), 58.23(а,б,в), 58.27(в,г,д), 58.39, 58.40.

Упражнения:

а) (Первая теорема об изоморфизме.) Пусть $H \subseteq G$ — подгруппа, а $N$ - нормальная подгруппа в $G$. Тогда группа $(HN)/N \cong H/(H \cap N)$.

б) (Вторая теорема об изоморфизме.) Пусть $N$ и $H$ — нормальные подгруппы в группе $G$, причём $N \subseteq H$. Тогда $(G/N)/(H/N) \cong G/H$.

в) Пусть $N$ - нормальная подгруппа в группе $G$. Тогда существует такая биекция между подгруппами $\bar H$ в $G/N$ и подгруппами $N \subseteq H \subseteq G$, что $\bar H$ нормальна в $G/N$, если и только если $H$ нормальна в $G$.

3) прямые произведения и прямые суммы, абелевы группы: 60.1, 60.2(в,г), 60.5(б,в), 60.20(в,е-л), 60.22, 60.23, 60.24(а,б), 60.45(б).

4) порождающие элементы и определяющие соотношения: 61.3, 61.14, 61.26, 61.28(б), 61.30.

Упражнения (см. презентацию ниже):

а) Показать, что $\iota$ в определении свободной группы $\mathcal F(X)$ через универсальное свойство является инъективным отображением и что группа $\mathcal F(X)$ определена однозначно с точностью до изоморфизма, сохраняющего образы элементов $x$ из $\mathcal F(X)$.

б) Доказать ассоциативность в комбинаторном определении свободной группы, если согласно тому определению, которым вы пользуетесь, свободная группа задаётся как множество приведённых слов. Если же свободная группа задаётся как множество классов эквивалентности, то доказать, что в каждом классе эквивалентности есть ровно одно приведённое слово.

в) Показать, что универсальное и комбинаторное определения свободной группы эквивалентны.

Свободные группы, порождающие и определяющие соотношения

5) конечно порождённые абелевы группы: 60.42(в,г), 60.50, 60.51, 60.52(в,г,е), 60.53.

6) действие группы на множестве: 57.1(в), 57.2(а), 57.8, 57.9(а,в), 57.25(а), 57.33, 57.30(а,б), 57.23(б), 58.21, 58.35.

Срок сдачи домашнего задания N1 - на контрольной работе N1.

Задание N2

7) коммутант и разрешимость: 62.1(в,г), 62.8, 62.11(а,б,г), 62.12(д), 62.19, 62.20, 62.21.

8) теоремы Силова: 59.12, 59.16, 59.18, 59.19, 59.20(в), 59.22(в,д), 62.18(б,г,д).

9) представления групп: 69.16, 69.22, 69.24, 69.28, 70.2(а,г,д,е), 70.17, 70.29, 70.34(г,д), 70.35(в,г), 70.37(б).

10) идеалы, гомоморфизмы, факторкольца: 64.2(б), 64.4, 64.6, 64.10, 64.11, 64.12, 64.49, 64.50, 64.53.

11) расширения полей: 67.4, 67.5, 67.6, 67.8, $\mathrm{Aut}(\mathrm{GF}(p^n))=\langle \sigma \rangle$, где $\sigma(x)=x^p$.

Срок сдачи домашнего задания N2 - на контрольной работе N2.

Задания, отмеченные знаком *, являются необязательными.

Литература: Сборник задач по алгебре / под ред. А.И. Кострикина, изд. 3-е. М.: Физматлит, 2001.