Различия

Показаны различия между двумя версиями страницы.

--- staff:gordienko_sem3 [26.09.2023 13:03]
gordienko
+++ staff:gordienko_sem3 [02.10.2025 21:39] (текущий)
gordienko
@@ Строка 1: / Строка 1: @@
-=== Алгебра, 3 семестр, мехмат МГУ, домашнее задание ===
+==== Алгебра, 3 семестр, мехмат МГУ, домашнее задание ====
 **Преподаватель [[:staff:gordienko|Гордиенко Алексей Сергеевич]]**
@@ Строка 9: / Строка 9: @@
 ) нормальные подгруппы, гомоморфизмы, факторгруппы, центр: 58.3, 58.4(а), 58.17, 58.19(б,в), 58.23(а,б,в), 58.27(в,г,д), 58.39, 58.40.
+__Упражнения__:
+а) (Первая теорема об изоморфизме.) Пусть $H \subseteq G$ --- подгруппа, а $N$ - нормальная подгруппа в $G$. Тогда группа $(HN)/N \cong H/(H \cap N)$.
+б) (Вторая теорема об изоморфизме.) Пусть $N$ и $H$ --- нормальные подгруппы в группе $G$, причём $N \subseteq H$. Тогда $(G/N)/(H/N) \cong G/H$.
+в) Пусть $N$ - нормальная подгруппа в группе $G$. Тогда существует такая биекция между подгруппами $\bar H$ в $G/N$ и подгруппами $N \subseteq H \subseteq G$, что $\bar H$ нормальна в $G/N$, если и только если $H$ нормальна в $G$.
 ) прямые произведения и прямые суммы, абелевы группы: 60.1, 60.2(в,г), 60.5(б,в), 60.20(в,е-л), 60.22, 60.23, 60.24(а,б), 60.45(б).
@@ Строка 14: / Строка 22: @@
 ) порождающие элементы и определяющие соотношения: 61.3, 61.14, 61.26, 61.28(б), 61.30.
-   __Упражнения__ (см. презентацию ниже):
+__Упражнения__ (см. презентацию ниже):
-   а) Показать, что i в определении свободной группы F(X) через универсальное свойство является инъективным отображением и что группа  F(X) определена однозначно с точностью до изоморфизма, сохраняющего образы элементов x из F(X).
+а) Показать, что $\iota$ в определении свободной группы $\mathcal F(X)$ через универсальное свойство является инъективным отображением и что группа  $\mathcal F(X)$ определена однозначно с точностью до изоморфизма, сохраняющего образы элементов $x$ из $\mathcal F(X)$.
-   б) Доказать ассоциативность в комбинаторном определении свободной группы.
+б) Доказать ассоциативность в комбинаторном определении свободной группы, если согласно тому определению, которым вы пользуетесь, свободная группа задаётся как множество приведённых слов. Если же свободная группа задаётся как множество классов эквивалентности, то доказать, что
+в каждом классе эквивалентности есть ровно одно приведённое слово.
-   в) Показать, что два определения свободной группы эквивалентны.
+в) Показать, что универсальное и комбинаторное определения свободной группы эквивалентны.
-   [[https://disk.yandex.ru/i/Vnf1lDWaJkQqxg|Свободные группы, порождающие и определяющие соотношения]]
+[[https://disk.yandex.ru/i/Vnf1lDWaJkQqxg|Свободные группы, порождающие и определяющие соотношения]]
 ) конечно порождённые абелевы группы: 60.42(в,г), 60.50, 60.51, 60.52(в,г,е), 60.53.
@@ Строка 40: / Строка 49: @@
 ) идеалы, гомоморфизмы, факторкольца: 64.2(б), 64.4, 64.6, 64.10, 64.11, 64.12, 64.49, 64.50, 64.53.
-) расширения полей: 67.4, 67.5, 67.6, 67.8, Aut(GF(p^n))=<σ>,  где σ(x)=x^p.
+) расширения полей: 67.4, 67.5, 67.6, 67.8, $\mathrm{Aut}(\mathrm{GF}(p^n))=\langle \sigma \rangle$,  где $\sigma(x)=x^p$.
 Срок сдачи **домашнего задания N2** - на контрольной работе N2.