Алгебра, 2-й курс, 2-й поток (понед. 10-45 – 12-20, ауд. 02, ГЗ)

• 5.9.2011 Напоминание. Группы. Подгруппы. Смежные классы. Теорема Лагранжа. Примеры. Порождающие элементы. Циклические группы. Порядки элементов. Нормальные подгруппы. Примеры.

• 12.9.2011 Гомоморфизмы групп. Примеры. Факторгруппы. Теорема о гомоморфизме групп. Примеры. Автоморфизмы групп. Внутренние автоморфизмы. Описание групп внутренних автоморфизмов. Прямые произведения групп (определения).
• 19.9.2011 Прямые произведения групп (связь различных определений). Примеры. Разложение циклической группы в прямое произведение. Лемма о факторизации по сомножителям. Абелевы группы. Базисы и ранги. Свободные абелевы группы. Теорема о строении конечно порожденных абелевых групп (формулировка).
• 26.9.2011 Универсальное свойство свободных абелевых групп. Подгруппа свободной абелевой группы свободна. Приведение целочисленной матрицы к диагональному виду элементарными преобразованиями. Замена базиса в свободной группе.Теорема о согласованных базисах. Теорема о строении конечно порожденных абелевых групп (существование). Подгруппа гручения и p-примарная подгруппа в абелевой группе. Их существование и свойства.
• 3.10.2011 Теорема о строении конечно порожденных абелевых групп (единственность). Показатель абелевой группы. Существование элемента, порядок которого равен показателю. Коммутант группы. Его свойства. Пример: группа диэдра. Разрешимые группы. Свойства. Разрешимость группы треугольных матриц над полем.
• 10.10.2011 Коммутант знакопеременной группы. Коммутант специальной линейной группы. Действия групп. Орбиты и стабилизаторы. Примеры. Различные действия группы на себе. Теорема Кэли.
• 17.10.2011 Связь орбиты и стабилизатора действия. Пример. Центр p-группы. Разрешимость p-группы. Группа порядка p^2 абелева. Теоремы Силова. Примеры силовских подгрупп.
• 24.10.2011 Разрешимость групп порядка pq. Классы сопряженных элементов в S_n. Простота группы A_n, n\ge 5 (два доказательства для n=5). Простота группы PSL_2(C).
• 31.10.2011 Кольца. Примеры. Идеалы. Факторкольца. Гомоморфизмы колец. Примеры. Теорема о гомоморфизме колец. Простота кольца матриц. Кольца главных идеалов. Факториальные коольца. Факториальность колец главных идеалов (доказательство единственности отложено).
• 7.11.2011 Факториальность колец главных идеалов (доказательство единственности). Понятие евклидова кольца. Понятие модуля над кольцом. Примеры. Модули над кольцами главных идеалов (без доказательства). Поля. Характеристика поля. Простые подполя. Расширения полей. Алгебраические и трансцендентные элементы. Минимальный моногочлен алгебраического элемента.
• 14.11.2011 Присоединение к полю корня неприводимого многочлена. Критерий алгебраичности элемента. Теорема о башне полей. Алгебраические элементы образуют подполе. Поле разложения многочлена. Существование и единственность. Примеры (кубические многочлены). Отображение Фробениуса. Конечные поля. Первая теорема о строении.
• 21.11.2011 Вторая теорема о строении конечных полей. Мультипликативная группа конечного поля. Следствия. Неприводимые многочлены над конечными полями. Представления групп. Примеры. Регулярное представление. Гомоморфизмы. Неприводимые представления. Неприводимые комплексные представления абелевых групп (доказательство отложено).

back to my homepage