* 5.9.2011 Напоминание. Группы. Подгруппы. Смежные классы. Теорема Лагранжа. Примеры. Порождающие элементы. Циклические группы. Порядки элементов. Нормальные подгруппы. Примеры.

• 12.9.2011 Гомоморфизмы групп. Примеры. Факторгруппы. Теорема о гомоморфизме групп. Примеры. Автоморфизмы групп. Внутренние автоморфизмы. Описание групп внутренних автоморфизмов. Прямые произведения групп (определения).
• 19.9.2011 Прямые произведения групп (связь различных определений). Примеры. Разложение циклической группы в прямое произведение. Лемма о факторизации по сомножителям. Абелевы группы. Базисы и ранги. Свободные абелевы группы. Теорема о строении конечно порожденных абелевых групп (формулировка).
• 26.9.2011 Универсальное свойство свободных абелевых групп. Подгруппа свободной абелевой группы свободна. Приведение целочисленной матрицы к диагональному виду элементарными преобразованиями. Замена базиса в свободной группе.Теорема о согласованных базисах. Теорема о строении конечно порожденных абелевых групп (существование). Подгруппа гручения и p-примарная подгруппа в абелевой группе. Их существование и свойства.
• 3.10.2011 Теорема о строении конечно порожденных абелевых групп (единственность). Показатель абелевой группы. Существование элемента, порядок которого равен показателю. Коммутант группы. Его свойства. Пример: группа диэдра. Разрешимые группы. Свойства. Разрешимость группы треугольных матриц над полем.
• 10.10.2011 Коммутант знакопеременной группы. Коммутант специальной линейной группы. Действия групп. Орбиты и стабилизаторы. Примеры. Различные действия группы на себе. Теорема Кэли.
• 17.10.2011 Связь орбиты и стабилизатора действия. Пример. Центр p-группы. Разрешимость p-группы. Группа порядка p^2 абелева. Теоремы Силова. Примеры силовских подгрупп.
• 24.10.2011 Разрешимость групп порядка pq. Классы сопряженных элементов в S_n. Простота группы A_n, n\ge 5 (два доказательства для n=5). Простота группы PSL_2(C).
• 31.10.2011 Кольца. Примеры. Идеалы. Факторкольца. Гомоморфизмы колец. Примеры. Теорема о гомоморфизме колец. Простота кольца матриц. Кольца главных идеалов. Факториальные коольца. Факториальность колец главных идеалов (доказательство единственности отложено).
• 7.11.2011 Факториальность колец главных идеалов (доказательство единственности). Понятие евклидова кольца. Понятие модуля над кольцом. Примеры. Модули над кольцами главных идеалов (без доказательства). Поля. Характеристика поля. Простые подполя. Расширения полей. Алгебраические и трансцендентные элементы. Минимальный моногочлен алгебраического элемента.
• 14.11.2011 Присоединение к полю корня неприводимого многочлена. Критерий алгебраичности элемента. Теорема о башне полей. Алгебраические элементы образуют подполе. Поле разложения многочлена. Существование и единственность. Примеры (кубические многочлены). Отображение Фробениуса. Конечные поля. Первая теорема о строении.
• 21.11.2011 Вторая теорема о строении конечных полей. Мультипликативная группа конечного поля. Следствия. Неприводимые многочлены над конечными полями. Представления групп. Примеры. Регулярное представление. Гомоморфизмы. Неприводимые представления. Неприводимые комплексные представления абелевых групп (доказательство отложено).
• 28.11.2011 Неприводимые комплексные представления абелевых групп. Одномерные представления. Прямые суммы представлений. Примеры. Теорема Машке (доказательство только над C). Характеры. Их свойства.
• 5.12.2011 Лемма Шура. Следствия. Пространство центральных функций. Соотношения ортогональности характеров. Следствия. Регулярное представление (напоминание). Разложение регулярного представления на неприводимые. Следствия. Число неприводимых представлений.
• 12.12.2011 Таблицы характеров. Пример: представления S_4. Алгебры над полем. Идеалы. Гомоморфизмы. Теорема о гомоморфизме. Примеры. Алгебры с делением (некоторые свойства). Алгебра кватернионов. Ее представление матрицами. Теорема Фробениуса. Коммутативный случай.
• 19.12.2011 Теорема Фробениуса (доказательство). Гомоморфизм SU_2 \to SO_3.

back to my homepage