Осенний семестр 2012/2013 учебного года
Алгебра, 1-й курс, 2-й поток, 107-112 гр.
пон. 10-45 – 12-20 (ауд. 16-10), ср. 10-45 - 12-20 (первая неделя, ауд. П4)
Расписание экзаменов.
- 107, 110, 111 гр.: 15 января, 428 ауд.,
- 108, 112 гр.: 16 января, 413 ауд.
- 109 гр.: 17 января, 454 ауд.
Расписание консультаций.
- 107, 110, 111 гр.: 14 января, 10:30, 429 ауд.
- 108, 112 гр.: 15 января, 16:00, 448 ауд.
- 109 гр.: 16 января, 16:00, 454 ауд.
Записки лекций (черновик, pdf with links)
Содержание прочитанных лекций
- (3.09.2012) Системы линейных уравнений. Метод Гаусса. Критерий совместности системы линейных уравнений.
- (10.09.2012) Критерий определенности системы линейных уравнений. Однородные системы. Связь решений неоднородной и соответствующей однородной систем. Свойства отображений. Ассоциативность. Обратное отображение. Его существование и единственность. Подстановки. Свойства. Запись подстановок. Их количество. Транспозиции. Разложение подстановки в произведение транспозиций. Четность (только определение).
- (12.09.2012) Изменение четности перестановки при транспозиции. Четность и знак подстановки. Знак произведения. Число четных и нечетных подстановок. Циклы. Разложение подстановки в произведение независимых циклов. algebra-12.09.2012.pdf
- (17.09.2012) Определитель матрицы. Полилинейность определителя. Кососимметричность определителя. Определитель транспонированной матрцы. Оределители и элементарные преобразования. algebra-17.09.2012.pdf
- (19.09.2012) Вычисление определителя при помощи элементарных преобразований. Определитель с углом нулей. Разложение определителя по строке (столбцу). Фальшивое разложение. Теорема Крамера. Определитель Вандермонда.
- (1.10.2012) Действия над матрицами. Ассоциатианость умножения. Понятие кольца. Примеры. Делители нуля и обратимые элементы. Простейшие свойства. Кольцо матриц. Обратная матрица. Формула для обратной матрицы. Делители нуля в кольце матриц. Критерий обратимости матрицы.
- (8.10.2012) Элементарные матрицы. Матричные единицы. Умножение на элементарные матрицы. Разложение невырожденной матрицы в произведение элементарных. Вычисление обратной матрицы. Определитель произведения матриц. Векторные пространства. Простейшие свойства. Примеры. Арифметическое пространство. Линейная зависимость. Примеры и простейшие свойства.
- (10.10.2012) Критерий невырожденности матрицы. Понятие базиса. Основная лемма о линейной зависимости. Следствия. Понятие ранга и размерности. Теорема о ранге матрицы (доказательство не закончено). algebra-10.10.2012.pdf
- (15.10.2012) Теорема о ранге матрицы. Теорема Кронекера-Капелли. Ранг произведения матриц. Решения однородной системы линейных уравнений. Фундаментальная система решений. Размерность пространства решений однородной системы. Задание подпространства системой линейных уравнений. Алгоритм построения базиса системы векторов. Понятие группы.
- (22.10.2012) Подгруппы. Гомоморфизмы групп. Примеры. Поля. Построение поля комплексных чисел. Алгебраическая запись комплексного числа. Комплексное сопряжение.
- (24.10.2012) Тригонометрическая форма комплексного числа. Формула Муавра. Корни из комплексных чисел. Группа корней из 1. Первообразные корни. Гомоморфизмы, изоморфизмы, автоморфизмы колец. Кольца вычетов. Делители нуля и обратимые элементы. Когда кольцо вычетов явяляется полем? Теорема Вилсона.
- (29.10.2012) Алгебры над полем. Подалгебры, гомоморфизмы и изоморфизмы. Конечномерные алгебры: делители нуля и обратимые элементы. Характеристика поля. Многочлены (над кольцом). Свойства. Формальные степенные ряды. Алгебра многочленов над полем. Делимость в целостных кольцах.
- (7.11.2012) Подстановка элемента в многочлен. Схема Горнера. Теорема Безу. Разложение многочлена по степеням t-a. Деление с остатком. Понятие евклидова кольца. Наибольший общий делитель многочленов. Его существование, единственность, алгоритм Евклида. Неприводимые многочлены. Примеры.
- (12.11.2012) Факториальность кольца многочленов. Понятие о факториальных кольцах. Примеры. Кратность корня и кратность множителя. Число корней многочлена. Многочлены и функции. Интерполяционная формула Лагранжа. Дифференцирования. Дифференцирования кольца многочленов.
- (12.11.2012) Понижение кратности множителя при дифференцированиии. Следствия. Отделение кратных множителей. Формула Тейлора. Формулы Виета. Основная теорема алгебры (формулировка). Сходимость последовательностей комплексных чисел (определение и свойства). Лемма о возрастании модуля многочлена. Лемма Даламбера.
- (19.11.2012) Доказательство основной теоремы алгебры. Следствия (неприводимые многочлены над C и R). Поле рациональных дробей. Простейшие дроби. Примеры.
- (19.11.2012) Разложение дроби в сумму простейших. Кольцо многочленов от нескольких переменных. Степень. Однородные многочлены.
- (21.11.2012) Факториальные кольца. Лемма Гаусса. Факториальность кольца многочленов над факторальным кольцом. Факториальность кольца многочленов от нескольких переменных. Симметрические многочлены. Лексикографический порядок. Его свойства.
- (26.11.2012) Старший член многочлена. Его свойства. Основная теорема о симметрических многочленах. Дискриминант.
- (3.12.2012) Дискриминант. Результант. Из связь. Свойства. Вычисление результанта через определитель. Приложения: исключения неизвестных. Порождающие элементы в группе. Циклические группы. Примеры.
- (10.12.2012) Порядки элементов. Строение циклических групп. Смежные классы. Примеры. Теорема Лагранжа. Следствия. Нормальные подгруппы. Примеры. Ядро и образ гомоморфизма – подгруппы.