Семестровый спецкурс

Лекции читаются в МИАН комн. 530л по средам 18:00–20:00. Для прохода в здание желательно при себе иметь документ.

Задачи

Лекции 6 и 7

• 5.9.2012 Рациональные отображения. Бирациональные изоморфизмы. Примеры. РАздутия многообразий. Фундаментальные точки рационального отображения.
• 12.09.2012 Дивизоры Вейля и Картье. Линейная эквивалентность. Линейные системы. Базисное множество и неподвижная часть. Соответствие между линейыми системами и рациональными отображениями в проективное пространство. Полный прообраз дивизора Картье. Теория пересечений.
• 19.09.2012 Дифференциальные формы. Поведение дифференциальных форм при рациональных отображениях. Канонический класс.
• 03.10.2012 Канонический класс. Вычисления для проективного пространства. Формула присоединения. Не(уни)рациональность гиперповерхностей большой степни. Каноническая алгебра. Ее бирациональная инвариантность. Необходимые сведения о градуированных алгебрах.
• 10.10.2012 Дивизориальная алгебра. Каноническая алгебра. Понятие размерности Кодаиры и размерности Иитаки. Простейшие свойства. О конечной порожденности дивизориальной алгебры. Двумерный случай. Теорема Ходжа об индексе. Разложение Зарисского (доказательство не закончено).
• 17.10.2012 Разложение Зарисского. Его свойства. Разложение Зарисского и конечная порожденность дивизориальной алгебры (редукция к численно эффективному дивизору). Пример дивизора, для которого R(X,D) не является конечно порожденным. Конечная порожденность R(X,D) для полуобильногго дивизора.
• 24.10.2012 Окончание доказательства разложения Зарисского. Свойства численно эффективных дивизоров. Объемные дивизоры и их свойства. Дивизоры с κ(X,D)=1 (на поверхности). Конечная попрожденность R(X,D) для дивизоров с Bs |nD|=\emptyset.
• 31.10.2012 Доказательство критерия конечной попрожденности R(X,D) для поверхностей. Канонические модели. Минимальнае модели поверхностей (различные определения). Критерий Кастельнуово (формулировка). Примеры. Многообразия общего типа. Примеры.
• 14.10.2012 Плюриканоническое отображение поверхностей |nK_X| является морфизмом для некоторого n. Особенности канонической модели. Понятие о дювалевских особенностях. Конечная порожденность канонической алгебры для поверхностей. Бирациональная классификация поверхностей.

Введение: рациональные отображения, дивизоры, линейные системы, рациональные и унирациональные многообразия. Дивизориальная алгебра, ее конечная порожденность и разложение Зарисского. Случай поверхностей и сложности в высших размерностях.

Когомологические бирациональные инварианты. Рационально связные и унилинейчатые многообразия. Деформации рациональных кривых. О существовании рациональных кривых на многообразиях. Критерий унилинейчатости.

Бирациональная классификация поверхностей. Сложности в высших размерностях. Нерациональность гиперповерхностей достаточно большой степени (метод Коллара). Критерий рациональности Кастельнуово. Проблема Люрота.

Различные подходы к доказательству нерациональности многообразий близких к рациональным. Группы бирациональных автоморфизмов. Группы Кремоны.

back to my homepage