Бирациональная алгебраическая геометрия
Семестровый спецкурс
Для сдачи экзамена необходимо решить по крайней мере 5 задач из разных разделов. На экзамене допускается пользоваться любыми материалами (рукописными, печатными, электронными).
Очередная сдача экзамена состоится во вторник 25 декабря в 15:00 (МИАН). Желающим сдавать просьба предварительно предупредить по e-mail.
Конспекты лекций. Предоставлены Андреем Солдатенковым. Djvu файл, но имеет расширение pdf (так пожелал сервер)
- 5.9.2012 Рациональные отображения. Бирациональные изоморфизмы. Примеры. РАздутия многообразий. Фундаментальные точки рационального отображения.
- 12.09.2012 Дивизоры Вейля и Картье. Линейная эквивалентность. Линейные системы. Базисное множество и неподвижная часть. Соответствие между линейыми системами и рациональными отображениями в проективное пространство. Полный прообраз дивизора Картье. Теория пересечений.
- 19.09.2012 Дифференциальные формы. Поведение дифференциальных форм при рациональных отображениях. Канонический класс.
- 03.10.2012 Канонический класс. Вычисления для проективного пространства. Формула присоединения. Не(уни)рациональность гиперповерхностей большой степни. Каноническая алгебра. Ее бирациональная инвариантность. Необходимые сведения о градуированных алгебрах.
- 10.10.2012 Дивизориальная алгебра. Каноническая алгебра. Понятие размерности Кодаиры и размерности Иитаки. Простейшие свойства. О конечной порожденности дивизориальной алгебры. Двумерный случай. Теорема Ходжа об индексе. Разложение Зарисского (доказательство не закончено).
- 17.10.2012 Разложение Зарисского. Его свойства. Разложение Зарисского и конечная порожденность дивизориальной алгебры (редукция к численно эффективному дивизору). Пример дивизора, для которого R(X,D) не является конечно порожденным. Конечная порожденность R(X,D) для полуобильногго дивизора.
- 24.10.2012 Окончание доказательства разложения Зарисского. Свойства численно эффективных дивизоров. Объемные дивизоры и их свойства. Дивизоры с κ(X,D)=1 (на поверхности). Конечная попрожденность R(X,D) для дивизоров с Bs |nD|=\emptyset.
- 31.10.2012 Доказательство критерия конечной попрожденности R(X,D) для поверхностей. Канонические модели. Минимальнае модели поверхностей (различные определения). Критерий Кастельнуово (формулировка). Примеры. Многообразия общего типа. Примеры.
- 14.10.2012 Плюриканоническое отображение поверхностей |nK_X| является морфизмом для некоторого n. Особенности канонической модели. Понятие о дювалевских особенностях. Конечная порожденность канонической алгебры для поверхностей. Бирациональная классификация поверхностей.
- 21.10.2012 Отображение Альбанезе. Его свойства. Отображения Альбанезе на поверхностях с одномерным образом. Приложения: поверхности с pg=1, q=2, κ=0. Кривые на многообразиях. Схема Hom. Ее размерность. Примеры. Формулировка теремы о существовании рациональных кривых. Следствия: поверхности с μ=3 и 2.
- 28.10.2012 Существование рациональных кривых. Унилинейчатые и рационально связные многообразия. Экстремальные лучи. Теорема о еонусе. Отрицательные экстремальные лучи на поверхностях. Критерий рациональности Кастельнуово. Следствия.