ВОПРОСЫ к коллоквиуму по алгебре 3 семестр, 2 поток, 2011/12 учебный год группы 207-212, лектор - Ю. Г. Прохоров
- Нормальные подгруппы. Примеры. Центр группы. Смежные классы. Факторгруппы.
- Теорема о гомоморфизме групп. Автоморфизмы групп. Внутренние автоморфизмы. Описание групп внутренних автоморфизмов.
- Прямые произведения групп. Различные определения. Примеры. Разложение циклической группы в прямое произведение.
- Лемма о факторизации по сомножителям.
- Абелевы группы. Линейная зависимость и базисы. Свободная абелева группа. Число элементов базиса в свободной абелевой группе не зависит от его выбора.
- Подгруппы свободных конечно порожденных абелевых групп
- Универсальное свойство свободных абелевых групп.
- Целочисленные элементарные преобразования матриц. Приведение целочисленных матриц к диагональному виду.
- Теорема о согласованных базисах.
- Теорема о строении конечно порожденных абелевых групп (доказательство существования).
- Подгруппа кручения в абелевой группе. Разложение конечной абелевой группы в произведение p-примарных компонент.
- Теорема о строении конечно порожденных абелевых групп (доказательство единственности).
- Экспонента группы. Существование в абелевой группе элемента, порядок которого равен экспоненте.
- Коммутант группы. Его свойства. Примеры.
- Разрешимые группы их свойства. Примеры.
- Разрешимость группы треугольных матриц.
- Коммутант знакопеременной группы.
- Коммутант специальной линейной группы.
- Действие группы на множестве. Его ядро, орбиты и стабилизаторы. Разложение в объединение орбит.
- Примеры действий. Связь орбиты и стабилизатора. Регулярное действие группы, теорема Кэли.
- Действие группы сопряжениями, разбиение на классы сопряжённых элементов. Нетривиальность центра конечной p-группы. Группа порядка p^2 абелева. Разрешимость p-групп.
- Первая теорема Силова.
- Вторая теорема Силова.
- Третья теорема Силова. Разрешимость групп порядка pq.
- Классы сопряжённых элементов симметрической группы. Простота группы A_n.