Различия

Показаны различия между двумя версиями страницы.

--- vecher-vesna-2019 [27.02.2019 11:26]
timashev
+++ vecher-vesna-2019 [08.04.2025 16:43] (текущий)
@@ Строка 84: / Строка 84: @@
   * 35.19, 35.22, 36.13б, 36.14;
   * если матрица A размера n×n имеет ранг ≤n/2, то матричное уравнение AX=0 имеет решением ненулевую симметрическую матрицу X.
+----
+=== 4 марта 2019 ===
+== Лекция 4 ==
+__Линейные отображения__ векторных пространств: определение, примеры (линейные функции, поворот плоскости, проекция пространства на плоскость, транспонирование матриц, дифференцирование функций). Матрица линейного отображения: определение, примеры (матрицы поворота плоскости и проекции пространства на плоскость), запись линейного отображения в координатах. Взаимно однозначное соответствие между линейными отображениями и матрицами (при выборе базисов). Преобразование матрицы линейного отображения при замене базисов. Операции над линейными отображениями и соответствующие операции над матрицами (сложение, умножение на скаляр, произведение).
+__Образ__ и __ядро__ линейного отображения. Критерии инъективности/сюръективности/биективности линейного отображения в терминах ядра и образа. Размерность ядра и образа, __ранг__ линейного отображения. Новое доказательство теоремы о размерности пространства решений ОСЛУ. Геометрическая структура линейного отображения: подпространство, дополнительное к ядру, изоморфно отображается на образ.
+== Семинар ==
+Задание подпространства однородной системой линейных уравнений ⇔ нахождение аннулятора подпространства (35.16а).
+== Домашнее задание: ==
+  * 35.16б.
+----
+=== 11 марта 2019 ===
+== Лекция 5 ==
+__Линейные операторы__ на векторном пространстве (пример: единичный оператор). Матрица линейного оператора, её преобразование при замене базиса. Алгебра линейных операторов, её изоморфизм с алгеброй квадратных матриц.
+__Определитель__ и __след__ линейного оператора, их независимость от выбора базиса. Невырожденные линейные операторы, эквивалентные условия невырожденности.
+__Инвариантные подпространства__ для линейного оператора, вид матрицы оператора в базисе, согласованном с инвариантными подпространствами.
+__Собственные векторы__ и __собственные значения__ линейного оператора. __Характеристический многочлен__. Наличие собственных векторов у линейного оператора в комплексном векторном пространстве. __Собственные подпространства__, их линейная независимость. Алгебраическая и геометрическая кратности собственного значения. Диагонализуемые операторы, эквивалентные условия диагонализуемости. Операторы с простым спектром диагонализуемы.
+== Семинар ==
+Нахождение базиса и системы линейных уравнений для суммы и пересечения подпространств (35.15г).
+== Домашнее задание: ==
+  * 35.15в;
+  * Задать системой однородных линейных уравнений сумму подпространств U+W в 4-мерном пространстве V при условии, что подпространства U и W заданы с помощью ОСЛУ:
+  * {{:staff:timashev:sub1.jpg|}} {{:staff:timashev:sub2.jpg|}}
+----
+=== 18 марта 2019 ===
+== Лекция 6 ==
+Подстановка линейного оператора или матрицы в многочлен. __Теорема Гамильтона–Кэли__ (для линейных операторов в конечномерном комплексном векторном пространстве). Существование инвариантного подпространства размерности ≤2 для линейного оператора в конечномерном вещественном векторном пространстве.
+__Корневые векторы__ линейного оператора (пример: собственные и корневые векторы оператора дифференцирования в пространстве функций на прямой). __Корневые подпространства__, их свойства: инвариантность, размерность равна алгебраической кратности собственного значения, ограничение оператора на корневое подпространство. Линейная независимость корневых подпространств, разложение векторного пространства в прямую сумму корневых подпространств.
+== Семинар ==
+Нахождение матрицы линейного оператора (39.15вл), её преобразование при замене базиса (39.20).
+== Домашнее задание: ==
+  * 39.15ен, 39.19.
+----
+=== 25 марта 2019 ===
+== Лекция 7 ==
+__Циклические подпространства__ для нильпотентного линейного оператора (пример: циклические подпространства оператора дифференцирования в пространстве многочленов), их свойства: инвариантность, базис и размерность, матрица нильпотентного оператора на циклическом подпространстве — нильпотентная __жорданова клетка__. Разложение векторного пространства в прямую сумму циклических подпространств, жорданов базис и жорданова нормальная форма для нильпотентного оператора. Графическое изображение действия нильпотентного оператора на жордановом базисе с помощью __диаграммы Юнга__.
+__Жорданова нормальная форма__ (ЖНФ) и __жорданов базис__ (ЖБ) для линейного оператора в комплексном векторном пространстве: существование, единственность ЖНФ с точностью до перестановки жордановых клеток, формулы для количества клеток с заданным собственным значением (всех и данного размера).
+== Семинар ==
+Вычисление коэффициентов характеристического многочлена (40.10). Вычисление собственных значений и нахождение собственных векторов (40.15е). Диагонализумость линейных операторов (40.16а).
+== Домашнее задание: ==
+  * 40.7, 40.9, 40.15бг, 40.16вг.
+----
+=== 1 апреля 2019 ===
+== Лекция 8 ==
+__Билинейные функции__ на векторных пространствах: определение, примеры (скалярное произведение геометрических векторов, определитель матрицы 2×2 как билинейная функция столбцов, след произведения матриц, интеграл произведения функций). Запись билинейных функций в координатах (__билинейные формы__), матрица билинейной функции, её преобразование при замене базиса. Ранг билинейной функции, невырожденные билинейные функции. Линейное отображение в сопряжённое пространство, задаваемое билинейной функцией, его матрица и критерий биективности.
+__Симметрические__ и __кососимметрические__ билинейные функции, примеры. __Ортогональное дополнение__ к подпространству относительно симметрической или кососимметрической билинейной функции, его свойства, связь с аннулятором.
+__Квадратичные функции__ на векторном пространстве, ассоциированные с симметрическими билинейными функциями, их запись в координатах (__квадратичные формы__). Восстановление симметрической билинейной функции по ассоциированной квадратичной функции (__формула поляризации__). Канонический вид симметрических билинейных и квадратичных функций, __алгоритм Лагранжа__ приведения к каноническому виду.
+== Семинар ==
+Сумма и произведение собственных значений линейного оператора. Нахождение ЖНФ и ЖБ (41.1е).
+== Домашнее задание: ==
+  * 41.1км, 41.10вг, 41.7, 41.30.
+----
+=== 8 апреля 2019 ===
+== Лекция 9 ==
+Угловые миноры матрицы симметрической билинейной (или квадратичной) функции, __метод Якоби__ приведения к каноническому виду. Нормальный вид симметрических билинейных и квадратичных функций над полями **C** и **R**. Сигнатура и индексы инерции квадратичной функции над **R**, __закон инерции__. __Положительно определённые__ симметрические билинейные и квадратичные функции, __критерий Сильвестра__.
+__Евклидовы__ векторные пространства: определение, примеры (геометрические векторы, **R**^n со стандартным скалярным умножением, конечномерные подпространства в пространстве непрерывных функций на отрезке). Изоморфизм евклидовых пространств. Все евклидовы пространства одной размерности изоморфны друг другу.
+== Семинар ==
+Приведение квадратичной функции к каноническому виду алгоритмом Лагранжа (38.18а). Приведение симметрической билинейной функции к каноническому виду методом Якоби (38.8б). Эквивалентность квадратичных форм над **R** (38.17а).
+== Домашнее задание: ==
+  * 38.18вгз, 38.8а, 38.17б, 38.19а.
+----
+=== 15 апреля 2019 ===
+== Лекция 10 ==
+__Длина__ вектора в евклидовом пространстве, её простейшие свойства. __Неравенство Коши–Буняковского__. Неравенство треугольника. __Угол__ между векторами.
+__Ортогональность__ векторов в евклидовом пространстве. Обобщённая теорема Пифагора. Ортогональные и ортонормированные базисы, ортогональные системы координат. Ортогональные матрицы, их характеризация как матриц перехода от одного ортонормированного базиса к другому.
+Ортогональное дополнение к подпространству в евклиловом пространстве, его свойства. __Ортогональная проекция__ и __ортогональная составляющая__ вектора относительно подпространства. __Процесс ортогонализации Грама–Шмидта__ (пример: многочлены Лежандра).
+__Матрица__ и __определитель Грама__, их свойства. __Расстояние__ между векторами в евклидовом пространстве, его свойства.
+== Семинар ==
+При каких значениях параметра квадратичная функция положительно определена (38.11б). Нахождение ортогональной проекции и ортогональной составляющей вектора (43.19а). Ортогонализация системы векторов (43.15а).
+== Домашнее задание: ==
+  * 38.11в, 38.14а, 43.19б, 43.15б.
+----
+=== 22 апреля 2019 ===
+== Лекция 11 ==
+Расстояние и угол между вектором и подпространством достигаются на ортогональной проекции вектора. Формула для расстояния от вектора до подпространства в терминах определителей Грама. __Объём__ многомерного __параллелепипеда__ в евклидовом пространстве: индуктивное определение, выражение через определитель Грама и через определитель матрицы координат порождающих векторов в ортонормированном базисе.
+Взаимно однозначное соответствие между линейными операторами и билинейными функциями на евклидовом пространстве. __Сопряжённый оператор__, его матрица в ортонормированном базисе.
+Оператор, сопряжённый к произведению операторов. Ортогональное дополнение к инвариантному подпространству инвариантно относительно сопряжённого оператора.
+__Ортогональные операторы__, эквивалентные условия ортогональности, примеры: поворот плоскости и осевая симметрия.
+== Семинар ==
+Нахождение расстояния и угла между вектором и подпространством (43.38б). Вычисление объёма параллелепипеда (43.36б). Линейная независимость системы векторов с попарными углами π/3 (43.39).
+== Домашнее задание: ==
+  * 43.38а, 43.21б, 43.40, 43.45а (при n=3).
+----
+=== 6 мая 2019 ===
+== Лекция 12 ==
+Канонический вид матрицы ортогонального оператора.
+__Симметрические (самосопряжённые) операторы__. Наличие собственного вектора у симметрического оператора. Канонический вид матрицы симметрического оператора. Приведение симметрических билинейных и квадратичных функций к главным осям. Неотрицательные и положительно определённые симметрические операторы, пример: A*·A, где A — произвольный оператор. Критерий неотрицательности и положительной определённости симметрического оператора в терминах собственных значений. Извлечение квадратного корня из неотрицательного и положительно определённого оператора.
+__Полярное разложение__ невырожденного линейного оператора в евклидовом пространстве.
+== Семинар ==
+Собственные значения ортогонального или симметрического оператора, ортогональность собственных подпространств. Приведение ортогонального оператора к каноническому виду (46.6в).
+== Домашнее задание: ==
+  * 46.6гж, 46.14.
+----
+=== 13 мая 2019 ===
+== Лекция 13 ==
+__Тензоры__: определение, примеры тензоров малых валентностей (скаляры, ковекторы, векторы, билинейные функции, сопоставление линейному оператору тензора типа (1,1)), определитель как тензор типа (n,0). Операции над тензорами: сложение, умножение на скаляры, __тензорное умножение__, их свойства.
+__Тензорный базис__ пространства тензоров типа (p,q), его размерность. __Компоненты__ тензора, их преобразование при замене координат в основном пространстве. Правило Эйнштейна. Операции над тензорами в координатах. Изоморфизм пространств линейных операторов и тензоров типа (1,1) над основным пространством.
+__Свёртка__ тензора по паре индексов, её действие на вполне разложимых тензорах, компоненты свёрнутого тензора. Свёртка по нескольким парам индексов.
+== Семинар ==
+Приведение квадратичной функции к главным осям (45.19и).
+== Домашнее задание: ==
+  * 45.19е, 45.4г, 45.14.
+----
+=== 20 мая 2019 ===
+== Лекция 14 ==
+Примеры свёртки (спаривание вектора с ковектором, значение билинейной функции на паре векторов, след линейного оператора, применение оператора к вектору, произведение линейных операторов).
+__Ковариантные__ и __контравариантные__ тензоры. __Симметрические__ и __кососимметрические__ тензоры. Операции симметризации и альтернирования тензоров, их свойства.
+__Внешнее умножение__ кососимметрических тензоров, его свойства: антикоммутативность, ассоциативность, внешнее произведение ковекторов и определители. Базис и размерность пространства кососимметрических тензоров данной валентности.
+== Семинар ==
+Полярное разложение линейного оператора.
+== Домашнее задание: ==
+  * 46.16бв (полярное разложение в обоих порядках).
+----
+== Итоговая контрольная работа: ==
+мая, 18:30, ауд. 13-03.
+== Зачёты: ==
+  * 3 июня, 18:30, ауд. 13-03;
+  * 5 июня, 18:30, ауд. 13-03.