Различия

Показаны различия между двумя версиями страницы.

--- vecher-vesna-2019 [26.03.2019 11:06]
timashev
+++ vecher-vesna-2019 [08.04.2025 16:43] (текущий)
@@ Строка 158: / Строка 158: @@
 == Домашнее задание: ==
   * 40.7, 40.9, 40.15бг, 40.16вг.
+----
+=== 1 апреля 2019 ===
+== Лекция 8 ==
+__Билинейные функции__ на векторных пространствах: определение, примеры (скалярное произведение геометрических векторов, определитель матрицы 2×2 как билинейная функция столбцов, след произведения матриц, интеграл произведения функций). Запись билинейных функций в координатах (__билинейные формы__), матрица билинейной функции, её преобразование при замене базиса. Ранг билинейной функции, невырожденные билинейные функции. Линейное отображение в сопряжённое пространство, задаваемое билинейной функцией, его матрица и критерий биективности.
+__Симметрические__ и __кососимметрические__ билинейные функции, примеры. __Ортогональное дополнение__ к подпространству относительно симметрической или кососимметрической билинейной функции, его свойства, связь с аннулятором.
+__Квадратичные функции__ на векторном пространстве, ассоциированные с симметрическими билинейными функциями, их запись в координатах (__квадратичные формы__). Восстановление симметрической билинейной функции по ассоциированной квадратичной функции (__формула поляризации__). Канонический вид симметрических билинейных и квадратичных функций, __алгоритм Лагранжа__ приведения к каноническому виду.
+== Семинар ==
+Сумма и произведение собственных значений линейного оператора. Нахождение ЖНФ и ЖБ (41.1е).
+== Домашнее задание: ==
+  * 41.1км, 41.10вг, 41.7, 41.30.
+----
+=== 8 апреля 2019 ===
+== Лекция 9 ==
+Угловые миноры матрицы симметрической билинейной (или квадратичной) функции, __метод Якоби__ приведения к каноническому виду. Нормальный вид симметрических билинейных и квадратичных функций над полями **C** и **R**. Сигнатура и индексы инерции квадратичной функции над **R**, __закон инерции__. __Положительно определённые__ симметрические билинейные и квадратичные функции, __критерий Сильвестра__.
+__Евклидовы__ векторные пространства: определение, примеры (геометрические векторы, **R**^n со стандартным скалярным умножением, конечномерные подпространства в пространстве непрерывных функций на отрезке). Изоморфизм евклидовых пространств. Все евклидовы пространства одной размерности изоморфны друг другу.
+== Семинар ==
+Приведение квадратичной функции к каноническому виду алгоритмом Лагранжа (38.18а). Приведение симметрической билинейной функции к каноническому виду методом Якоби (38.8б). Эквивалентность квадратичных форм над **R** (38.17а).
+== Домашнее задание: ==
+  * 38.18вгз, 38.8а, 38.17б, 38.19а.
+----
+=== 15 апреля 2019 ===
+== Лекция 10 ==
+__Длина__ вектора в евклидовом пространстве, её простейшие свойства. __Неравенство Коши–Буняковского__. Неравенство треугольника. __Угол__ между векторами.
+__Ортогональность__ векторов в евклидовом пространстве. Обобщённая теорема Пифагора. Ортогональные и ортонормированные базисы, ортогональные системы координат. Ортогональные матрицы, их характеризация как матриц перехода от одного ортонормированного базиса к другому.
+Ортогональное дополнение к подпространству в евклиловом пространстве, его свойства. __Ортогональная проекция__ и __ортогональная составляющая__ вектора относительно подпространства. __Процесс ортогонализации Грама–Шмидта__ (пример: многочлены Лежандра).
+__Матрица__ и __определитель Грама__, их свойства. __Расстояние__ между векторами в евклидовом пространстве, его свойства.
+== Семинар ==
+При каких значениях параметра квадратичная функция положительно определена (38.11б). Нахождение ортогональной проекции и ортогональной составляющей вектора (43.19а). Ортогонализация системы векторов (43.15а).
+== Домашнее задание: ==
+  * 38.11в, 38.14а, 43.19б, 43.15б.
+----
+=== 22 апреля 2019 ===
+== Лекция 11 ==
+Расстояние и угол между вектором и подпространством достигаются на ортогональной проекции вектора. Формула для расстояния от вектора до подпространства в терминах определителей Грама. __Объём__ многомерного __параллелепипеда__ в евклидовом пространстве: индуктивное определение, выражение через определитель Грама и через определитель матрицы координат порождающих векторов в ортонормированном базисе.
+Взаимно однозначное соответствие между линейными операторами и билинейными функциями на евклидовом пространстве. __Сопряжённый оператор__, его матрица в ортонормированном базисе.
+Оператор, сопряжённый к произведению операторов. Ортогональное дополнение к инвариантному подпространству инвариантно относительно сопряжённого оператора.
+__Ортогональные операторы__, эквивалентные условия ортогональности, примеры: поворот плоскости и осевая симметрия.
+== Семинар ==
+Нахождение расстояния и угла между вектором и подпространством (43.38б). Вычисление объёма параллелепипеда (43.36б). Линейная независимость системы векторов с попарными углами π/3 (43.39).
+== Домашнее задание: ==
+  * 43.38а, 43.21б, 43.40, 43.45а (при n=3).
+----
+=== 6 мая 2019 ===
+== Лекция 12 ==
+Канонический вид матрицы ортогонального оператора.
+__Симметрические (самосопряжённые) операторы__. Наличие собственного вектора у симметрического оператора. Канонический вид матрицы симметрического оператора. Приведение симметрических билинейных и квадратичных функций к главным осям. Неотрицательные и положительно определённые симметрические операторы, пример: A*·A, где A — произвольный оператор. Критерий неотрицательности и положительной определённости симметрического оператора в терминах собственных значений. Извлечение квадратного корня из неотрицательного и положительно определённого оператора.
+__Полярное разложение__ невырожденного линейного оператора в евклидовом пространстве.
+== Семинар ==
+Собственные значения ортогонального или симметрического оператора, ортогональность собственных подпространств. Приведение ортогонального оператора к каноническому виду (46.6в).
+== Домашнее задание: ==
+  * 46.6гж, 46.14.
+----
+=== 13 мая 2019 ===
+== Лекция 13 ==
+__Тензоры__: определение, примеры тензоров малых валентностей (скаляры, ковекторы, векторы, билинейные функции, сопоставление линейному оператору тензора типа (1,1)), определитель как тензор типа (n,0). Операции над тензорами: сложение, умножение на скаляры, __тензорное умножение__, их свойства.
+__Тензорный базис__ пространства тензоров типа (p,q), его размерность. __Компоненты__ тензора, их преобразование при замене координат в основном пространстве. Правило Эйнштейна. Операции над тензорами в координатах. Изоморфизм пространств линейных операторов и тензоров типа (1,1) над основным пространством.
+__Свёртка__ тензора по паре индексов, её действие на вполне разложимых тензорах, компоненты свёрнутого тензора. Свёртка по нескольким парам индексов.
+== Семинар ==
+Приведение квадратичной функции к главным осям (45.19и).
+== Домашнее задание: ==
+  * 45.19е, 45.4г, 45.14.
+----
+=== 20 мая 2019 ===
+== Лекция 14 ==
+Примеры свёртки (спаривание вектора с ковектором, значение билинейной функции на паре векторов, след линейного оператора, применение оператора к вектору, произведение линейных операторов).
+__Ковариантные__ и __контравариантные__ тензоры. __Симметрические__ и __кососимметрические__ тензоры. Операции симметризации и альтернирования тензоров, их свойства.
+__Внешнее умножение__ кососимметрических тензоров, его свойства: антикоммутативность, ассоциативность, внешнее произведение ковекторов и определители. Базис и размерность пространства кососимметрических тензоров данной валентности.
+== Семинар ==
+Полярное разложение линейного оператора.
+== Домашнее задание: ==
+  * 46.16бв (полярное разложение в обоих порядках).
+----
+== Итоговая контрольная работа: ==
+мая, 18:30, ауд. 13-03.
+== Зачёты: ==
+  * 3 июня, 18:30, ауд. 13-03;
+  * 5 июня, 18:30, ауд. 13-03.