Кафедра высшей алгебры

Вы посетили:



      

Различия

Здесь показаны различия между выбранной ревизией и текущей версией данной страницы.

vecher-vesna-2019 [13.02.2019 23:59]
timashev
vecher-vesna-2019 [16.04.2019 00:29] (текущий)
timashev
Строка 48: Строка 48:
  * доказать, что множество **R**^+ положительных чисел с операциями u⊕v = u·v (u,v∈**R**^+) и λ⊗v = v^λ (λ∈**R**, v∈**R**^+) является векторным пространством над полем **R**, и найти его размерность.   * доказать, что множество **R**^+ положительных чисел с операциями u⊕v = u·v (u,v∈**R**^+) и λ⊗v = v^λ (λ∈**R**, v∈**R**^+) является векторным пространством над полем **R**, и найти его размерность.
 +----
 +
 +=== 18 февраля 2019 ===
 +
 +== Лекция 2 ==
 +
 +__Подпространства__ в векторном пространстве, примеры и конструкции подпространств: линейная оболочка множества векторов, пространство решений однородной системы линейных уравнений, пересечение подпространств. Объединение подпространств — вообще говоря, не подпространство. __Сумма подпространств__.
 +
 +Подпространство конечномерного векторного пространства конечномерно, его размерность не превосходит размерности пространства и строго меньше для собственного подпространства. Базис пространства, согласованный с подпространством. Существование базиса конечномерного пространства, согласованного с парой подпространств, их суммой и пересечением. __Формула Грассмана__ для размерности суммы двух подпространств. Нетривиальность пересечения двух подпространств, сумма размерностей которых больше размерности пространства.
 +
 +Линейная независимость подпространств, __прямая сумма__ подпространств, проекции вектора на прямые слагаемые. Примеры: разложение пространства геометрических векторов в прямую сумму плоскости и прямой, разложение конечномерного векторного пространства в прямую сумму координатных осей, разложение пространства квадратных матриц в прямую сумму подпространств симметрических и кососимметрических матриц. Размерность и базис прямой суммы подпространств.
 +
 +== Семинар ==
 +
 +Примеры подпространств (35.3ге). Векторные пространства над конечным полем (35.10аб).
 +
 +== Домашнее задание: ==
 +  * 35.3джз, 35.9, 35.10вгде.
 +
 +----
 +
 +=== 25 февраля 2019 ===
 +
 +== Лекция 3 ==
 +
 +__Линейные функции__ на векторном пространстве V: определение, примеры (след матрицы, вычисление значения функции в точке множества), запись в координатах на конечномерном пространстве (__линейные формы__). Сопряжённое (двойственное, дуальное) пространство V*, его размерность. Сопряжённый (двойственный, дуальный) базис пространства V*. Канонический изоморфизм пространств V и (V*)* в конечномерном случае. Двойственность между векторами и линейными функциями (__ковекторами__).
 +
 +__Аннулятор__ подмножества в векторном пространстве, его свойства. Размерность аннулятора, совпадение второго аннулятора подпространства с этим подпространством в конечномерном случае. Любое подпространство в конечномерном векторном пространстве задаётся однородной системой линейных уравнений (ОСЛУ). Критерий базисности набора линейных функций: задаваемая ими квадратная ОСЛУ имеет только нулевое решение. Интерполяционная формула Лагранжа как разложение многочлена по базису в терминах сопряжённого базиса.
 +
 +== Семинар ==
 +
 +Применения формулы Грассмана: 7-мерное подпространство пространства матриц размера 4×4 содержит ненулевую треугольную матрицу. Прямая сумма подпространств: недостаточность условия нулевых попарных пересечений подпространств, разложение в прямую сумму (35.18). Ядро линейной функции (36.13а).
 +
 +== Домашнее задание: ==
 +  * 35.19, 35.22, 36.13б, 36.14;
 +  * если матрица A размера n×n имеет ранг ≤n/2, то матричное уравнение AX=0 имеет решением ненулевую симметрическую матрицу X.
 +
 +----
 +
 +=== 4 марта 2019 ===
 +
 +== Лекция 4 ==
 +
 +__Линейные отображения__ векторных пространств: определение, примеры (линейные функции, поворот плоскости, проекция пространства на плоскость, транспонирование матриц, дифференцирование функций). Матрица линейного отображения: определение, примеры (матрицы поворота плоскости и проекции пространства на плоскость), запись линейного отображения в координатах. Взаимно однозначное соответствие между линейными отображениями и матрицами (при выборе базисов). Преобразование матрицы линейного отображения при замене базисов. Операции над линейными отображениями и соответствующие операции над матрицами (сложение, умножение на скаляр, произведение).
 +
 +__Образ__ и __ядро__ линейного отображения. Критерии инъективности/сюръективности/биективности линейного отображения в терминах ядра и образа. Размерность ядра и образа, __ранг__ линейного отображения. Новое доказательство теоремы о размерности пространства решений ОСЛУ. Геометрическая структура линейного отображения: подпространство, дополнительное к ядру, изоморфно отображается на образ.
 +
 +== Семинар ==
 +
 +Задание подпространства однородной системой линейных уравнений ⇔ нахождение аннулятора подпространства (35.16а).
 +
 +== Домашнее задание: ==
 +  * 35.16б.
 +
 +----
 +
 +=== 11 марта 2019 ===
 +
 +== Лекция 5 ==
 +
 +__Линейные операторы__ на векторном пространстве (пример: единичный оператор). Матрица линейного оператора, её преобразование при замене базиса. Алгебра линейных операторов, её изоморфизм с алгеброй квадратных матриц.
 +
 +__Определитель__ и __след__ линейного оператора, их независимость от выбора базиса. Невырожденные линейные операторы, эквивалентные условия невырожденности.
 +
 +__Инвариантные подпространства__ для линейного оператора, вид матрицы оператора в базисе, согласованном с инвариантными подпространствами.
 +
 +__Собственные векторы__ и __собственные значения__ линейного оператора. __Характеристический многочлен__. Наличие собственных векторов у линейного оператора в комплексном векторном пространстве. __Собственные подпространства__, их линейная независимость. Алгебраическая и геометрическая кратности собственного значения. Диагонализуемые операторы, эквивалентные условия диагонализуемости. Операторы с простым спектром диагонализуемы.
 +
 +== Семинар ==
 +
 +Нахождение базиса и системы линейных уравнений для суммы и пересечения подпространств (35.15г).
 +
 +== Домашнее задание: ==
 +  * 35.15в;
 +  * Задать системой однородных линейных уравнений сумму подпространств U+W в 4-мерном пространстве V при условии, что подпространства U и W заданы с помощью ОСЛУ:
 +  * {{:staff:timashev:sub1.jpg|}} {{:staff:timashev:sub2.jpg|}}
 +
 +----
 +
 +=== 18 марта 2019 ===
 +
 +== Лекция 6 ==
 +
 +Подстановка линейного оператора или матрицы в многочлен. __Теорема Гамильтона–Кэли__ (для линейных операторов в конечномерном комплексном векторном пространстве). Существование инвариантного подпространства размерности ≤2 для линейного оператора в конечномерном вещественном векторном пространстве.
 +
 +__Корневые векторы__ линейного оператора (пример: собственные и корневые векторы оператора дифференцирования в пространстве функций на прямой). __Корневые подпространства__, их свойства: инвариантность, размерность равна алгебраической кратности собственного значения, ограничение оператора на корневое подпространство. Линейная независимость корневых подпространств, разложение векторного пространства в прямую сумму корневых подпространств.
 +
 +== Семинар ==
 +
 +Нахождение матрицы линейного оператора (39.15вл), её преобразование при замене базиса (39.20).
 +
 +== Домашнее задание: ==
 +  * 39.15ен, 39.19.
 +
 +----
 +
 +=== 25 марта 2019 ===
 +
 +== Лекция 7 ==
 +
 +__Циклические подпространства__ для нильпотентного линейного оператора (пример: циклические подпространства оператора дифференцирования в пространстве многочленов), их свойства: инвариантность, базис и размерность, матрица нильпотентного оператора на циклическом подпространстве — нильпотентная __жорданова клетка__. Разложение векторного пространства в прямую сумму циклических подпространств, жорданов базис и жорданова нормальная форма для нильпотентного оператора. Графическое изображение действия нильпотентного оператора на жордановом базисе с помощью __диаграммы Юнга__.
 +
 +__Жорданова нормальная форма__ (ЖНФ) и __жорданов базис__ (ЖБ) для линейного оператора в комплексном векторном пространстве: существование, единственность ЖНФ с точностью до перестановки жордановых клеток, формулы для количества клеток с заданным собственным значением (всех и данного размера).
 +
 +== Семинар ==
 +
 +Вычисление коэффициентов характеристического многочлена (40.10). Вычисление собственных значений и нахождение собственных векторов (40.15е). Диагонализумость линейных операторов (40.16а).
 +
 +== Домашнее задание: ==
 +  * 40.7, 40.9, 40.15бг, 40.16вг.
 +
 +----
 +
 +=== 1 апреля 2019 ===
 +
 +== Лекция 8 ==
 +
 +__Билинейные функции__ на векторных пространствах: определение, примеры (скалярное произведение геометрических векторов, определитель матрицы 2×2 как билинейная функция столбцов, след произведения матриц, интеграл произведения функций). Запись билинейных функций в координатах (__билинейные формы__), матрица билинейной функции, её преобразование при замене базиса. Ранг билинейной функции, невырожденные билинейные функции. Линейное отображение в сопряжённое пространство, задаваемое билинейной функцией, его матрица и критерий биективности.
 +
 +__Симметрические__ и __кососимметрические__ билинейные функции, примеры. __Ортогональное дополнение__ к подпространству относительно симметрической или кососимметрической билинейной функции, его свойства, связь с аннулятором.
 +
 +__Квадратичные функции__ на векторном пространстве, ассоциированные с симметрическими билинейными функциями, их запись в координатах (__квадратичные формы__). Восстановление симметрической билинейной функции по ассоциированной квадратичной функции (__формула поляризации__). Канонический вид симметрических билинейных и квадратичных функций, __алгоритм Лагранжа__ приведения к каноническому виду.
 +
 +== Семинар ==
 +
 +Сумма и произведение собственных значений линейного оператора. Нахождение ЖНФ и ЖБ (41.1е).
 +
 +== Домашнее задание: ==
 +  * 41.1км, 41.10вг, 41.7, 41.30.
 +
 +----
 +
 +=== 8 апреля 2019 ===
 +
 +== Лекция 9 ==
 +
 +Угловые миноры матрицы симметрической билинейной (или квадратичной) функции, __метод Якоби__ приведения к каноническому виду. Нормальный вид симметрических билинейных и квадратичных функций над полями **C** и **R**. Сигнатура и индексы инерции квадратичной функции над **R**, __закон инерции__. __Положительно определённые__ симметрические билинейные и квадратичные функции, __критерий Сильвестра__.
 +
 +__Евклидовы__ векторные пространства: определение, примеры (геометрические векторы, **R**^n со стандартным скалярным умножением, конечномерные подпространства в пространстве непрерывных функций на отрезке). Изоморфизм евклидовых пространств. Все евклидовы пространства одной размерности изоморфны друг другу.
 +
 +== Семинар ==
 +
 +Приведение квадратичной функции к каноническому виду алгоритмом Лагранжа (38.18а). Приведение симметрической билинейной функции к каноническому виду методом Якоби (38.8б). Эквивалентность квадратичных форм над **R** (38.17а).
 +
 +== Домашнее задание: ==
 +  * 38.18вгз, 38.8а, 38.17б, 38.19а.
 +
 +----
 +
 +=== 15 апреля 2019 ===
 +
 +== Лекция 10 ==
 +
 +__Длина__ вектора в евклидовом пространстве, её простейшие свойства. __Неравенство Коши–Буняковского__. Неравенство треугольника. __Угол__ между векторами.
 +
 +__Ортогональность__ векторов в евклидовом пространстве. Обобщённая теорема Пифагора. Ортогональные и ортонормированные базисы, ортогональные системы координат. Ортогональные матрицы, их характеризация как матриц перехода от одного ортонормированного базиса к другому.
 +
 +Ортогональное дополнение к подпространству в евклиловом пространстве, его свойства. __Ортогональная проекция__ и __ортогональная составляющая__ вектора относительно подпространства. __Процесс ортогонализации Грама–Шмидта__ (пример: многочлены Лежандра).
 +
 +__Матрица__ и __определитель Грама__, их свойства. __Расстояние__ между векторами в евклидовом пространстве, его свойства.
 +
 +== Семинар ==
 +
 +При каких значениях параметра квадратичная функция положительно определена (38.11б). Нахождение ортогональной проекции и ортогональной составляющей вектора (43.19а). Ортогонализация системы векторов (43.15а).
 +
 +== Домашнее задание: ==
 +  * 38.11в, 38.14а, 43.19б, 43.15б.