Кафедра высшей алгебры

Вы посетили:



      

Различия

Здесь показаны различия между выбранной ревизией и текущей версией данной страницы.

vecher-vesna-2019 [12.03.2019 13:25]
timashev
vecher-vesna-2019 [14.05.2019 21:47] (текущий)
timashev
Строка 124: Строка 124:
  * Задать системой однородных линейных уравнений сумму подпространств U+W в 4-мерном пространстве V при условии, что подпространства U и W заданы с помощью ОСЛУ:   * Задать системой однородных линейных уравнений сумму подпространств U+W в 4-мерном пространстве V при условии, что подпространства U и W заданы с помощью ОСЛУ:
  * {{:staff:timashev:sub1.jpg|}} {{:staff:timashev:sub2.jpg|}}   * {{:staff:timashev:sub1.jpg|}} {{:staff:timashev:sub2.jpg|}}
 +
 +----
 +
 +=== 18 марта 2019 ===
 +
 +== Лекция 6 ==
 +
 +Подстановка линейного оператора или матрицы в многочлен. __Теорема Гамильтона–Кэли__ (для линейных операторов в конечномерном комплексном векторном пространстве). Существование инвариантного подпространства размерности ≤2 для линейного оператора в конечномерном вещественном векторном пространстве.
 +
 +__Корневые векторы__ линейного оператора (пример: собственные и корневые векторы оператора дифференцирования в пространстве функций на прямой). __Корневые подпространства__, их свойства: инвариантность, размерность равна алгебраической кратности собственного значения, ограничение оператора на корневое подпространство. Линейная независимость корневых подпространств, разложение векторного пространства в прямую сумму корневых подпространств.
 +
 +== Семинар ==
 +
 +Нахождение матрицы линейного оператора (39.15вл), её преобразование при замене базиса (39.20).
 +
 +== Домашнее задание: ==
 +  * 39.15ен, 39.19.
 +
 +----
 +
 +=== 25 марта 2019 ===
 +
 +== Лекция 7 ==
 +
 +__Циклические подпространства__ для нильпотентного линейного оператора (пример: циклические подпространства оператора дифференцирования в пространстве многочленов), их свойства: инвариантность, базис и размерность, матрица нильпотентного оператора на циклическом подпространстве — нильпотентная __жорданова клетка__. Разложение векторного пространства в прямую сумму циклических подпространств, жорданов базис и жорданова нормальная форма для нильпотентного оператора. Графическое изображение действия нильпотентного оператора на жордановом базисе с помощью __диаграммы Юнга__.
 +
 +__Жорданова нормальная форма__ (ЖНФ) и __жорданов базис__ (ЖБ) для линейного оператора в комплексном векторном пространстве: существование, единственность ЖНФ с точностью до перестановки жордановых клеток, формулы для количества клеток с заданным собственным значением (всех и данного размера).
 +
 +== Семинар ==
 +
 +Вычисление коэффициентов характеристического многочлена (40.10). Вычисление собственных значений и нахождение собственных векторов (40.15е). Диагонализумость линейных операторов (40.16а).
 +
 +== Домашнее задание: ==
 +  * 40.7, 40.9, 40.15бг, 40.16вг.
 +
 +----
 +
 +=== 1 апреля 2019 ===
 +
 +== Лекция 8 ==
 +
 +__Билинейные функции__ на векторных пространствах: определение, примеры (скалярное произведение геометрических векторов, определитель матрицы 2×2 как билинейная функция столбцов, след произведения матриц, интеграл произведения функций). Запись билинейных функций в координатах (__билинейные формы__), матрица билинейной функции, её преобразование при замене базиса. Ранг билинейной функции, невырожденные билинейные функции. Линейное отображение в сопряжённое пространство, задаваемое билинейной функцией, его матрица и критерий биективности.
 +
 +__Симметрические__ и __кососимметрические__ билинейные функции, примеры. __Ортогональное дополнение__ к подпространству относительно симметрической или кососимметрической билинейной функции, его свойства, связь с аннулятором.
 +
 +__Квадратичные функции__ на векторном пространстве, ассоциированные с симметрическими билинейными функциями, их запись в координатах (__квадратичные формы__). Восстановление симметрической билинейной функции по ассоциированной квадратичной функции (__формула поляризации__). Канонический вид симметрических билинейных и квадратичных функций, __алгоритм Лагранжа__ приведения к каноническому виду.
 +
 +== Семинар ==
 +
 +Сумма и произведение собственных значений линейного оператора. Нахождение ЖНФ и ЖБ (41.1е).
 +
 +== Домашнее задание: ==
 +  * 41.1км, 41.10вг, 41.7, 41.30.
 +
 +----
 +
 +=== 8 апреля 2019 ===
 +
 +== Лекция 9 ==
 +
 +Угловые миноры матрицы симметрической билинейной (или квадратичной) функции, __метод Якоби__ приведения к каноническому виду. Нормальный вид симметрических билинейных и квадратичных функций над полями **C** и **R**. Сигнатура и индексы инерции квадратичной функции над **R**, __закон инерции__. __Положительно определённые__ симметрические билинейные и квадратичные функции, __критерий Сильвестра__.
 +
 +__Евклидовы__ векторные пространства: определение, примеры (геометрические векторы, **R**^n со стандартным скалярным умножением, конечномерные подпространства в пространстве непрерывных функций на отрезке). Изоморфизм евклидовых пространств. Все евклидовы пространства одной размерности изоморфны друг другу.
 +
 +== Семинар ==
 +
 +Приведение квадратичной функции к каноническому виду алгоритмом Лагранжа (38.18а). Приведение симметрической билинейной функции к каноническому виду методом Якоби (38.8б). Эквивалентность квадратичных форм над **R** (38.17а).
 +
 +== Домашнее задание: ==
 +  * 38.18вгз, 38.8а, 38.17б, 38.19а.
 +
 +----
 +
 +=== 15 апреля 2019 ===
 +
 +== Лекция 10 ==
 +
 +__Длина__ вектора в евклидовом пространстве, её простейшие свойства. __Неравенство Коши–Буняковского__. Неравенство треугольника. __Угол__ между векторами.
 +
 +__Ортогональность__ векторов в евклидовом пространстве. Обобщённая теорема Пифагора. Ортогональные и ортонормированные базисы, ортогональные системы координат. Ортогональные матрицы, их характеризация как матриц перехода от одного ортонормированного базиса к другому.
 +
 +Ортогональное дополнение к подпространству в евклиловом пространстве, его свойства. __Ортогональная проекция__ и __ортогональная составляющая__ вектора относительно подпространства. __Процесс ортогонализации Грама–Шмидта__ (пример: многочлены Лежандра).
 +
 +__Матрица__ и __определитель Грама__, их свойства. __Расстояние__ между векторами в евклидовом пространстве, его свойства.
 +
 +== Семинар ==
 +
 +При каких значениях параметра квадратичная функция положительно определена (38.11б). Нахождение ортогональной проекции и ортогональной составляющей вектора (43.19а). Ортогонализация системы векторов (43.15а).
 +
 +== Домашнее задание: ==
 +  * 38.11в, 38.14а, 43.19б, 43.15б.
 +
 +----
 +
 +=== 22 апреля 2019 ===
 +
 +== Лекция 11 ==
 +
 +Расстояние и угол между вектором и подпространством достигаются на ортогональной проекции вектора. Формула для расстояния от вектора до подпространства в терминах определителей Грама. __Объём__ многомерного __параллелепипеда__ в евклидовом пространстве: индуктивное определение, выражение через определитель Грама и через определитель матрицы координат порождающих векторов в ортонормированном базисе.
 +
 +Взаимно однозначное соответствие между линейными операторами и билинейными функциями на евклидовом пространстве. __Сопряжённый оператор__, его матрица в ортонормированном базисе.
 +
 +Оператор, сопряжённый к произведению операторов. Ортогональное дополнение к инвариантному подпространству инвариантно относительно сопряжённого оператора.
 +
 +__Ортогональные операторы__, эквивалентные условия ортогональности, примеры: поворот плоскости и осевая симметрия.
 +
 +== Семинар ==
 +
 +Нахождение расстояния и угла между вектором и подпространством (43.38б). Вычисление объёма параллелепипеда (43.36б). Линейная независимость системы векторов с попарными углами π/3 (43.39).
 +
 +== Домашнее задание: ==
 +  * 43.38а, 43.21б, 43.40, 43.45а (при n=3).
 +
 +----
 +
 +=== 6 мая 2019 ===
 +
 +== Лекция 12 ==
 +
 +Канонический вид матрицы ортогонального оператора.
 +
 +__Симметрические (самосопряжённые) операторы__. Наличие собственного вектора у симметрического оператора. Канонический вид матрицы симметрического оператора. Приведение симметрических билинейных и квадратичных функций к главным осям. Неотрицательные и положительно определённые симметрические операторы, пример: A*·A, где A — произвольный оператор. Критерий неотрицательности и положительной определённости симметрического оператора в терминах собственных значений. Извлечение квадратного корня из неотрицательного и положительно определённого оператора.
 +
 +__Полярное разложение__ невырожденного линейного оператора в евклидовом пространстве.
 +
 +== Семинар ==
 +
 +Собственные значения ортогонального или симметрического оператора, ортогональность собственных подпространств. Приведение ортогонального оператора к каноническому виду (46.6в).
 +
 +== Домашнее задание: ==
 +  * 46.6гж, 46.14.
 +
 +----
 +
 +=== 13 мая 2019 ===
 +
 +== Лекция 13 ==
 +
 +__Тензоры__: определение, примеры тензоров малых валентностей (скаляры, ковекторы, векторы, билинейные функции, сопоставление линейному оператору тензора типа (1,1)), определитель как тензор типа (n,0). Операции над тензорами: сложение, умножение на скаляры, __тензорное умножение__, их свойства.
 +
 +__Тензорный базис__ пространства тензоров типа (p,q), его размерность. __Компоненты__ тензора, их преобразование при замене координат в основном пространстве. Правило Эйнштейна. Операции над тензорами в координатах. Изоморфизм пространств линейных операторов и тензоров типа (1,1) над основным пространством.
 +
 +__Свёртка__ тензора по паре индексов, её действие на вполне разложимых тензорах, компоненты свёрнутого тензора. Свёртка по нескольким парам индексов.
 +
 +== Семинар ==
 +
 +Приведение квадратичной функции к главным осям (45.19и).
 +
 +== Домашнее задание: ==
 +  * 45.19е, 45.4г, 45.14.
 +