Кафедра высшей алгебры

Вы посетили:



      

Различия

Здесь показаны различия между выбранной ревизией и текущей версией данной страницы.

vecher-vesna-2019 [16.04.2019 00:29]
timashev
vecher-vesna-2019 [24.05.2019 22:29] (текущий)
timashev
Строка 215: Строка 215:
== Домашнее задание: == == Домашнее задание: ==
  * 38.11в, 38.14а, 43.19б, 43.15б.   * 38.11в, 38.14а, 43.19б, 43.15б.
 +
 +----
 +
 +=== 22 апреля 2019 ===
 +
 +== Лекция 11 ==
 +
 +Расстояние и угол между вектором и подпространством достигаются на ортогональной проекции вектора. Формула для расстояния от вектора до подпространства в терминах определителей Грама. __Объём__ многомерного __параллелепипеда__ в евклидовом пространстве: индуктивное определение, выражение через определитель Грама и через определитель матрицы координат порождающих векторов в ортонормированном базисе.
 +
 +Взаимно однозначное соответствие между линейными операторами и билинейными функциями на евклидовом пространстве. __Сопряжённый оператор__, его матрица в ортонормированном базисе.
 +
 +Оператор, сопряжённый к произведению операторов. Ортогональное дополнение к инвариантному подпространству инвариантно относительно сопряжённого оператора.
 +
 +__Ортогональные операторы__, эквивалентные условия ортогональности, примеры: поворот плоскости и осевая симметрия.
 +
 +== Семинар ==
 +
 +Нахождение расстояния и угла между вектором и подпространством (43.38б). Вычисление объёма параллелепипеда (43.36б). Линейная независимость системы векторов с попарными углами π/3 (43.39).
 +
 +== Домашнее задание: ==
 +  * 43.38а, 43.21б, 43.40, 43.45а (при n=3).
 +
 +----
 +
 +=== 6 мая 2019 ===
 +
 +== Лекция 12 ==
 +
 +Канонический вид матрицы ортогонального оператора.
 +
 +__Симметрические (самосопряжённые) операторы__. Наличие собственного вектора у симметрического оператора. Канонический вид матрицы симметрического оператора. Приведение симметрических билинейных и квадратичных функций к главным осям. Неотрицательные и положительно определённые симметрические операторы, пример: A*·A, где A — произвольный оператор. Критерий неотрицательности и положительной определённости симметрического оператора в терминах собственных значений. Извлечение квадратного корня из неотрицательного и положительно определённого оператора.
 +
 +__Полярное разложение__ невырожденного линейного оператора в евклидовом пространстве.
 +
 +== Семинар ==
 +
 +Собственные значения ортогонального или симметрического оператора, ортогональность собственных подпространств. Приведение ортогонального оператора к каноническому виду (46.6в).
 +
 +== Домашнее задание: ==
 +  * 46.6гж, 46.14.
 +
 +----
 +
 +=== 13 мая 2019 ===
 +
 +== Лекция 13 ==
 +
 +__Тензоры__: определение, примеры тензоров малых валентностей (скаляры, ковекторы, векторы, билинейные функции, сопоставление линейному оператору тензора типа (1,1)), определитель как тензор типа (n,0). Операции над тензорами: сложение, умножение на скаляры, __тензорное умножение__, их свойства.
 +
 +__Тензорный базис__ пространства тензоров типа (p,q), его размерность. __Компоненты__ тензора, их преобразование при замене координат в основном пространстве. Правило Эйнштейна. Операции над тензорами в координатах. Изоморфизм пространств линейных операторов и тензоров типа (1,1) над основным пространством.
 +
 +__Свёртка__ тензора по паре индексов, её действие на вполне разложимых тензорах, компоненты свёрнутого тензора. Свёртка по нескольким парам индексов.
 +
 +== Семинар ==
 +
 +Приведение квадратичной функции к главным осям (45.19и).
 +
 +== Домашнее задание: ==
 +  * 45.19е, 45.4г, 45.14.
 +
 +----
 +
 +=== 20 мая 2019 ===
 +
 +== Лекция 14 ==
 +
 +Примеры свёртки (спаривание вектора с ковектором, значение билинейной функции на паре векторов, след линейного оператора, применение оператора к вектору, произведение линейных операторов).
 +
 +__Ковариантные__ и __контравариантные__ тензоры. __Симметрические__ и __кососимметрические__ тензоры. Операции симметризации и альтернирования тензоров, их свойства.
 +
 +__Внешнее умножение__ кососимметрических тензоров, его свойства: антикоммутативность, ассоциативность, внешнее произведение ковекторов и определители. Базис и размерность пространства кососимметрических тензоров данной валентности.
 +
 +== Семинар ==
 +
 +Полярное разложение линейного оператора.
 +
 +== Домашнее задание: ==
 +  * 46.16бв (полярное разложение в обоих порядках).
 +
 +----
 +
 +== Итоговая контрольная работа: ==
 +27 мая, 18:30, ауд. 13-03.
 +
 +== Зачёты: ==
 +  * 3 июня, 18:30, ауд. 13-03;
 +  * 5 июня, 18:30, ауд. 13-03.