Различия

Показаны различия между двумя версиями страницы.

--- vecher-vesna-2020 [15.04.2020 00:07]
timashev
+++ vecher-vesna-2020 [08.04.2025 16:43] (текущий)
@@ Строка 112: / Строка 112: @@
 == Домашнее задание: ==
-  * 39,6, 39.15ел, 39.19, 39,23.
+  * 39.6, 39.15ел, 39.19, 39.23.
 ----
@@ Строка 183: / Строка 183: @@
 == Домашнее задание: ==
   * 41.1а (найти ЖНФ и ЖБ), 41.10в, 38.3, 38.18вгз.
+----
+=== 21 апреля 2020 ===
+== Лекция 10 ==
+Нормальный вид симметрических билинейных и квадратичных функций над полями **C** и **R**. Сигнатура и индексы инерции квадратичной функции над **R**, __закон инерции__. __Положительно определённые__ симметрические билинейные и квадратичные функции, __критерий Сильвестра__.
+__Евклидовы__ векторные пространства: определение, примеры (геометрические векторы, **R**^n со стандартным скалярным умножением, конечномерные подпространства в пространстве непрерывных функций на отрезке). Изоморфизм евклидовых пространств. Все евклидовы пространства одной размерности изоморфны друг другу.
+__Длина__ вектора в евклидовом пространстве, её простейшие свойства. __Неравенство Коши–Буняковского__. Неравенство треугольника. __Угол__ между векторами.
+== Семинар ==
+Приведение симметрической билинейной функции к каноническому виду методом Якоби (38.8б). Эквивалентность квадратичных форм над **R** (38.17а).
+== Домашнее задание: ==
+  * 38.9, 38.11б, 38.14а, 38.17б, 38.19а.
+----
+=== 28 апреля 2020 ===
+== Лекция 11 ==
+__Ортогональность__ векторов в евклидовом пространстве. Обобщённая теорема Пифагора. Ортогональные и ортонормированные базисы, ортогональные системы координат. Ортогональные матрицы, их характеризация как матриц перехода от одного ортонормированного базиса к другому.
+Ортогональное дополнение к подпространству в евклидовом пространстве, его свойства. __Ортогональная проекция__ и __ортогональная составляющая__ вектора относительно подпространства. __Процесс ортогонализации Грама–Шмидта__ (пример: многочлены Лежандра).
+__Матрица__ и __определитель Грама__, их свойства. __Расстояние__ между векторами в евклидовом пространстве, его свойства. Расстояние и угол между вектором и подпространством достигаются на ортогональной проекции вектора. Формула для расстояния от вектора до подпространства в терминах определителей Грама.
+== Семинар ==
+Ортогонализация системы векторов (43.15а). Нахождение ортогональной проекции и ортогональной составляющей вектора, расстояния и угла между вектором и подпространством (43.38б).
+== Домашнее задание: ==
+  * 43.15б, 43.19а, 43.21б, 43.38а.
+----
+=== 5 мая 2020 ===
+== Лекция 12 ==
+__Объём__ многомерного __параллелепипеда__ в евклидовом пространстве: индуктивное определение, выражение через определитель Грама и через определитель матрицы координат порождающих векторов в ортонормированном базисе.
+Взаимно однозначное соответствие между линейными операторами и билинейными функциями на евклидовом пространстве. __Сопряжённый оператор__, его матрица в ортонормированном базисе.
+Оператор, сопряжённый к произведению операторов. Ортогональное дополнение к инвариантному подпространству инвариантно относительно сопряжённого оператора.
+__Ортогональные операторы__, эквивалентные условия ортогональности, примеры: E, -E, поворот плоскости. Канонический вид матрицы ортогонального оператора.
+== Семинар ==
+Вычисление объёма параллелепипеда (43.36б). Линейная независимость системы векторов с попарными углами π/3 (43.39). Собственные значения ортогонального оператора, ортогональность собственных подпространств. Приведение ортогонального оператора к каноническому виду (46.6в).
+== Домашнее задание: ==
+  * 43.36а, 43.40, 43.45а (при n=3), 44.7, 46.6гж, 46.14.
+----
+=== 12 мая 2020 ===
+== Лекция 13 ==
+__Симметрические (самосопряжённые) операторы__. Наличие собственного вектора у симметрического оператора. Канонический вид матрицы симметрического оператора. Приведение симметрических билинейных и квадратичных функций к главным осям. Неотрицательные и положительно определённые симметрические операторы, пример: A*·A, где A — произвольный оператор. Критерий неотрицательности и положительной определённости симметрического оператора в терминах собственных значений. Извлечение квадратного корня из неотрицательного и положительно определённого оператора.
+__Полярное разложение__ невырожденного линейного оператора в евклидовом пространстве.
+== Семинар ==
+Приведение квадратичной функции к главным осям (45.19и). Полярное разложение линейного оператора.
+== Домашнее задание: ==
+  * 45.1, 45.4г, 45.14, 45.15★, 45.19е, 46.16бв (полярное разложение в обоих порядках).
+----
+=== 19 мая 2020 ===
+== Лекция 13 ==
+__Тензоры__: определение, примеры тензоров малых валентностей (скаляры, ковекторы, векторы, билинейные функции, сопоставление линейному оператору тензора типа (1,1)), определитель как тензор типа (n,0). Операции над тензорами: сложение, умножение на скаляры, __тензорное умножение__, их свойства.
+__Тензорный базис__ пространства тензоров типа (p,q), его размерность. __Компоненты__ тензора, их преобразование при замене координат в основном пространстве. Правило Эйнштейна. Операции над тензорами в координатах. Изоморфизм пространств линейных операторов и тензоров типа (1,1) над основным пространством.
+== Семинар ==
+Вычисление значений тензоров (47.3а). Разложимость тензоров в тензорное произведение (47.1ад).
+== Домашнее задание: ==
+  * 47.1вг, 47.3б, 47.4;
+  * ★ тензор det не разложим в тензорное произведение тензоров меньшей валентности.
+----
+=== 26 мая 2020 ===
+== Лекция 15 ==
+__Ковариантные__ и __контравариантные__ тензоры. __Симметрические__ и __кососимметрические__ тензоры. Операции симметризации и альтернирования тензоров, их свойства.
+__Внешнее умножение__ кососимметрических тензоров, его свойства: антикоммутативность, ассоциативность, внешнее произведение ковекторов, его геометрический смысл. Базис и размерность пространства кососимметрических тензоров данной валентности.
+Канонический вид кососимметрической билинейной функции, алгоритм приведения к каноническому виду с использованием внешнего умножения.
+== Семинар ==
+Вычисление компонент тензора при переходе к новому базису (47.5). Приведение кососимметрической билинейной функции к каноническому виду (37.33б).
+== Домашнее задание: ==
+  * 47.7бв, 47.14а, 37.33авг.
+----
+== Итоговая контрольная работа: ==
+мая, 11:00.
+== Зачёты: ==
+  * 4 июня, 18:30;
+  * 7 июня, 11:00.
+----
+== Экзамен по курсу: ==
+июня, 11:00.
+{{:staff:timashev:linalg-20.pdf|Программа экзамена}}