Кафедра высшей алгебры

Вы посетили:



      

Различия

Здесь показаны различия между выбранной ревизией и текущей версией данной страницы.

vecher-vesna-2020 [29.02.2020 12:31]
timashev
vecher-vesna-2020 [05.06.2020 10:55] (текущий)
timashev
Строка 3: Строка 3:
**Преподаватель:** [[staff:timashev|Д.А.Тимашёв]] **Преподаватель:** [[staff:timashev|Д.А.Тимашёв]]
-Занятия проходят **по вторникам** c 18:30 по 21:50 в ауд. **14-05**.+Занятия проходят **по вторникам** c 18:30 по 21:50. Начиная с **24 марта 2020**, занятия проходят дистанционно на платформе [[https://support.office.com/ru-ru/teams|Microsoft Teams]]. Для подключения к занятиям обращайтесь к преподавателю.
== Литература == == Литература ==
Строка 73: Строка 73:
== Домашнее задание: == == Домашнее задание: ==
  * 35.16б, 36.9бв, 36.14, 36.17в.   * 35.16б, 36.9бв, 36.14, 36.17в.
 +
 +----
 +
 +=== 3 марта 2020 ===
 +
 +== Лекция 4 ==
 +
 +__Линейные отображения__ векторных пространств: определение, примеры (линейные функции, поворот плоскости, проекция пространства на плоскость, транспонирование матриц, дифференцирование функций). Матрица линейного отображения: определение, примеры (матрицы поворота плоскости и проекции пространства на плоскость), запись линейного отображения в координатах. Взаимно однозначное соответствие между линейными отображениями и матрицами (при выборе базисов). Преобразование матрицы линейного отображения при замене базисов. Операции над линейными отображениями и соответствующие операции над матрицами (сложение, умножение на скаляр, произведение).
 +
 +__Образ__ и __ядро__ линейного отображения. Критерии инъективности/сюръективности/биективности линейного отображения в терминах ядра и образа. Размерность ядра и образа. Геометрическая структура линейного отображения: подпространство, дополнительное к ядру, изоморфно отображается на образ.
 +
 +== Семинар ==
 +
 +Нахождение базиса и системы линейных уравнений для суммы и пересечения подпространств.
 +
 +== Домашнее задание: ==
 +  * 35.15вг, 36.3, 36.8★.
 +
 +----
 +
 +=== 10 марта 2020 ===
 +
 +== Лекция 5 ==
 +
 +__Ранг__ линейного отображения. Новое доказательство теоремы о размерности пространства решений ОСЛУ.
 +
 +__Линейные операторы__ на векторном пространстве (пример: единичный оператор). Матрица линейного оператора, её преобразование при замене базиса. Алгебра линейных операторов, её изоморфизм с алгеброй квадратных матриц.
 +
 +__Определитель__ и __след__ линейного оператора, их независимость от выбора базиса. Невырожденные линейные операторы, эквивалентные условия невырожденности.
 +
 +__Инвариантные подпространства__ для линейного оператора, вид матрицы оператора в базисе, согласованном с инвариантными подпространствами.
 +
 +__Собственные векторы__ и __собственные значения__ линейного оператора. __Характеристический многочлен__. Наличие собственных векторов у линейного оператора в комплексном векторном пространстве. __Собственные подпространства__, их линейная независимость. Алгебраическая и геометрическая кратности собственного значения.
 +
 +== Семинар ==
 +
 +Нахождение базисов суммы и пересечения подпространств (35.15г). Нахождение матрицы линейного оператора (39.15в), её преобразование при замене базиса (39.20).
 +
 +== Домашнее задание: ==
 +  * 39,6, 39.15ел, 39.19, 39,23.
 +
 +----
 +
 +=== 24 марта 2020 ===
 +
 +== Лекция 6 ==
 +
 +Диагонализуемые операторы, эквивалентные условия диагонализуемости. Операторы с простым спектром диагонализуемы.
 +
 +Подстановка линейного оператора или матрицы в многочлен. __Теорема Гамильтона–Кэли__ (для линейных операторов в конечномерном комплексном векторном пространстве). Существование инвариантного подпространства размерности ≤2 для линейного оператора в конечномерном вещественном векторном пространстве.
 +
 +__Корневые векторы__ линейного оператора (пример: собственные и корневые векторы оператора дифференцирования в пространстве функций на прямой), __корневые подпространства__.
 +
 +== Семинар ==
 +
 +Вычисление коэффициентов характеристического многочлена (40.10). Вычисление собственных значений и нахождение собственных векторов (40.15е). Диагонализумость линейных операторов (40.16а).
 +
 +== Домашнее задание: ==
 +  * 40.7, 40.9, 40.15бг, 40.16вг, 40.33★.
 +
 +----
 +
 +=== 31 марта 2020 ===
 +
 +== Лекция 7 ==
 +
 +Свойства корневых подпространств: инвариантность, размерность равна алгебраической кратности собственного значения, ограничение оператора на корневое подпространство. Линейная независимость корневых подпространств, разложение векторного пространства в прямую сумму корневых подпространств.
 +
 +__Циклические подпространства__ для нильпотентного линейного оператора, их свойства: инвариантность, базис и размерность, матрица нильпотентного оператора на циклическом подпространстве — нильпотентная __жорданова клетка__. Разложение векторного пространства в прямую сумму циклических подпространств, жорданов базис и жорданова матрица нильпотентного оператора в этом базисе. Графическое изображение действия нильпотентного оператора на жордановом базисе с помощью __диаграммы Юнга__.
 +
 +== Семинар ==
 +
 +Нахождение корневых подпространств (40.35а).
 +
 +== Домашнее задание: ==
 +  * 40.35бг, 40.38, 41.8, 41.15.
 +
 +----
 +
 +=== 7 апреля 2020 ===
 +
 +== Лекция 8 ==
 +
 +__Жорданова нормальная форма__ (ЖНФ) и __жорданов базис__ (ЖБ) для линейного оператора в комплексном векторном пространстве: существование, единственность ЖНФ с точностью до перестановки жордановых клеток, формулы для количества клеток с заданным собственным значением (всех и данного размера).
 +
 +__Билинейные функции__ на векторных пространствах: определение, примеры (скалярное произведение геометрических векторов, определитель матрицы 2×2 как билинейная функция столбцов, след произведения матриц, интеграл произведения функций). Запись билинейных функций в координатах (__билинейные формы__), матрица билинейной функции, её преобразование при замене базиса. Ранг билинейной функции, невырожденные билинейные функции. Линейное отображение в сопряжённое пространство, задаваемое билинейной функцией, его матрица и критерий биективности.
 +
 +== Семинар ==
 +
 +Сумма и произведение собственных значений линейного оператора. Нахождение ЖНФ (41.1е).
 +
 +== Домашнее задание: ==
 +  * 41.1км, 41.10вг, 41.7, 41.30.
 +
 +----
 +
 +=== 14 апреля 2020 ===
 +
 +== Лекция 9 ==
 +
 +__Симметрические__ и __кососимметрические__ билинейные функции, примеры. __Ортогональное дополнение__ к подпространству относительно симметрической или кососимметрической билинейной функции, его свойства, связь с аннулятором.
 +
 +__Квадратичные функции__ на векторном пространстве, ассоциированные с симметрическими билинейными функциями, их запись в координатах (__квадратичные формы__). Восстановление симметрической билинейной функции по ассоциированной квадратичной функции (__формула поляризации__). Канонический вид симметрических билинейных и квадратичных функций, __алгоритм Лагранжа__ приведения к каноническому виду. Угловые миноры матрицы симметрической билинейной (или квадратичной) функции, __метод Якоби__ приведения к каноническому виду.
 +
 +== Семинар ==
 +
 +Нахождение ЖНФ и ЖБ (41.10г). Приведение квадратичной функции к каноническому виду алгоритмом Лагранжа (38.18а).
 +
 +== Домашнее задание: ==
 +  * 41.1а (найти ЖНФ и ЖБ), 41.10в, 38.3, 38.18вгз.
 +
 +----
 +
 +=== 21 апреля 2020 ===
 +
 +== Лекция 10 ==
 +
 +Нормальный вид симметрических билинейных и квадратичных функций над полями **C** и **R**. Сигнатура и индексы инерции квадратичной функции над **R**, __закон инерции__. __Положительно определённые__ симметрические билинейные и квадратичные функции, __критерий Сильвестра__.
 +
 +__Евклидовы__ векторные пространства: определение, примеры (геометрические векторы, **R**^n со стандартным скалярным умножением, конечномерные подпространства в пространстве непрерывных функций на отрезке). Изоморфизм евклидовых пространств. Все евклидовы пространства одной размерности изоморфны друг другу.
 +
 +__Длина__ вектора в евклидовом пространстве, её простейшие свойства. __Неравенство Коши–Буняковского__. Неравенство треугольника. __Угол__ между векторами.
 +
 +== Семинар ==
 +
 +Приведение симметрической билинейной функции к каноническому виду методом Якоби (38.8б). Эквивалентность квадратичных форм над **R** (38.17а).
 +
 +== Домашнее задание: ==
 +  * 38.9, 38.11б, 38.14а, 38.17б, 38.19а.
 +
 +----
 +
 +=== 28 апреля 2020 ===
 +
 +== Лекция 11 ==
 +
 +__Ортогональность__ векторов в евклидовом пространстве. Обобщённая теорема Пифагора. Ортогональные и ортонормированные базисы, ортогональные системы координат. Ортогональные матрицы, их характеризация как матриц перехода от одного ортонормированного базиса к другому.
 +
 +Ортогональное дополнение к подпространству в евклидовом пространстве, его свойства. __Ортогональная проекция__ и __ортогональная составляющая__ вектора относительно подпространства. __Процесс ортогонализации Грама–Шмидта__ (пример: многочлены Лежандра).
 +
 +__Матрица__ и __определитель Грама__, их свойства. __Расстояние__ между векторами в евклидовом пространстве, его свойства. Расстояние и угол между вектором и подпространством достигаются на ортогональной проекции вектора. Формула для расстояния от вектора до подпространства в терминах определителей Грама.
 +
 +== Семинар ==
 +
 +Ортогонализация системы векторов (43.15а). Нахождение ортогональной проекции и ортогональной составляющей вектора, расстояния и угла между вектором и подпространством (43.38б).
 +
 +== Домашнее задание: ==
 +  * 43.15б, 43.19а, 43.21б, 43.38а.
 +
 +----
 +
 +=== 5 мая 2020 ===
 +
 +== Лекция 12 ==
 +
 +__Объём__ многомерного __параллелепипеда__ в евклидовом пространстве: индуктивное определение, выражение через определитель Грама и через определитель матрицы координат порождающих векторов в ортонормированном базисе.
 +
 +Взаимно однозначное соответствие между линейными операторами и билинейными функциями на евклидовом пространстве. __Сопряжённый оператор__, его матрица в ортонормированном базисе.
 +
 +Оператор, сопряжённый к произведению операторов. Ортогональное дополнение к инвариантному подпространству инвариантно относительно сопряжённого оператора.
 +
 +__Ортогональные операторы__, эквивалентные условия ортогональности, примеры: E, -E, поворот плоскости. Канонический вид матрицы ортогонального оператора.
 +
 +== Семинар ==
 +
 +Вычисление объёма параллелепипеда (43.36б). Линейная независимость системы векторов с попарными углами π/3 (43.39). Собственные значения ортогонального оператора, ортогональность собственных подпространств. Приведение ортогонального оператора к каноническому виду (46.6в).
 +
 +== Домашнее задание: ==
 +  * 43.36а, 43.40, 43.45а (при n=3), 44.7, 46.6гж, 46.14.
 +
 +----
 +
 +=== 12 мая 2020 ===
 +
 +== Лекция 13 ==
 +
 +__Симметрические (самосопряжённые) операторы__. Наличие собственного вектора у симметрического оператора. Канонический вид матрицы симметрического оператора. Приведение симметрических билинейных и квадратичных функций к главным осям. Неотрицательные и положительно определённые симметрические операторы, пример: A*·A, где A — произвольный оператор. Критерий неотрицательности и положительной определённости симметрического оператора в терминах собственных значений. Извлечение квадратного корня из неотрицательного и положительно определённого оператора.
 +
 +__Полярное разложение__ невырожденного линейного оператора в евклидовом пространстве.
 +
 +== Семинар ==
 +
 +Приведение квадратичной функции к главным осям (45.19и). Полярное разложение линейного оператора.
 +
 +== Домашнее задание: ==
 +  * 45.1, 45.4г, 45.14, 45.15★, 45.19е, 46.16бв (полярное разложение в обоих порядках).
 +
 +----
 +
 +=== 19 мая 2020 ===
 +
 +== Лекция 13 ==
 +
 +__Тензоры__: определение, примеры тензоров малых валентностей (скаляры, ковекторы, векторы, билинейные функции, сопоставление линейному оператору тензора типа (1,1)), определитель как тензор типа (n,0). Операции над тензорами: сложение, умножение на скаляры, __тензорное умножение__, их свойства.
 +
 +__Тензорный базис__ пространства тензоров типа (p,q), его размерность. __Компоненты__ тензора, их преобразование при замене координат в основном пространстве. Правило Эйнштейна. Операции над тензорами в координатах. Изоморфизм пространств линейных операторов и тензоров типа (1,1) над основным пространством.
 +
 +== Семинар ==
 +
 +Вычисление значений тензоров (47.3а). Разложимость тензоров в тензорное произведение (47.1ад).
 +
 +== Домашнее задание: ==
 +  * 47.1вг, 47.3б, 47.4;
 +  * ★ тензор det не разложим в тензорное произведение тензоров меньшей валентности.
 +
 +----
 +
 +=== 26 мая 2020 ===
 +
 +== Лекция 15 ==
 +
 +__Ковариантные__ и __контравариантные__ тензоры. __Симметрические__ и __кососимметрические__ тензоры. Операции симметризации и альтернирования тензоров, их свойства.
 +
 +__Внешнее умножение__ кососимметрических тензоров, его свойства: антикоммутативность, ассоциативность, внешнее произведение ковекторов, его геометрический смысл. Базис и размерность пространства кососимметрических тензоров данной валентности.
 +
 +Канонический вид кососимметрической билинейной функции, алгоритм приведения к каноническому виду с использованием внешнего умножения.
 +
 +== Семинар ==
 +
 +Вычисление компонент тензора при переходе к новому базису (47.5). Приведение кососимметрической билинейной функции к каноническому виду (37.33б).
 +
 +== Домашнее задание: ==
 +  * 47.7бв, 47.14а, 37.33авг.
 +
 +----
 +
 +== Итоговая контрольная работа: ==
 +31 мая, 11:00.
 +
 +== Зачёты: ==
 +  * 4 июня, 18:30;
 +  * 7 июня, 11:00.
 +
 +----
 +
 +== Экзамен по курсу: ==
 +13 июня, 11:00.
 +
 +{{:staff:timashev:linalg-20.pdf|Программа экзамена}}