Преподаватель: Д.А.Тимашёв

Занятия проходят по вторникам c 18:30 по 21:50. Начиная с 24 марта 2020, занятия проходят дистанционно на платформе Microsoft Teams. Для получения учётной записи Microsoft Teams обращайтесь к преподавателю.

1. А.И.Кострикин. Введение в алгебру. Часть II. Линейная алгебра.
2. Э.Б.Винберг. Курс алгебры. Главы 5−8.
3. А.И.Кострикин, Ю.И.Манин. Линейная алгебра и геометрия.
4. Сборник задач по алгебре под ред. А.И.Кострикина. Часть II. Линейная алгебра и геометрия.

Нумерация задач даётся по «Сборнику задач по алгебре» под ред. А.И.Кострикина, 3-е изд., Москва, Физматлит, 2001. Дополнительные задачи помечены знаком ★.

Векторные пространства над произвольным полем K, скаляры и векторы, примеры: геометрические векторы, арифметическое пространство K^n, пространство матриц, пространство функций на множестве, пространство многочленов, расширения полей. Простейшие следствия аксиом векторного пространства.

Линейные комбинации векторов, линейная зависимость, основная лемма о линейной зависимости.

Базис и размерность векторного пространства, координаты вектора в базисе. Конечномерные и бесконечномерные векторные пространства.

Изоморфизм векторных пространств. Любое векторное пространство размерности n<∞ над полем K изоморфно арифметическому пространству K^n.

Матрица перехода от одного базиса к другому, её свойства. Правило преобразования координат вектора при замене базиса.

Экзотический пример векторного пространства: множество всех подмножеств множества X с операцией симметрической разности подмножеств — векторное пространство над полем Z_2. Линейная независимость системы функций 1, cos(t), … , cos(nt) в пространстве функций на вещественной прямой (34.3г). Преобразование координат вектора при замене базиса (34.10а).

• 34.7а, 34.4б, 34.10в, 34.11а, 34.8бвд★;
• доказать, что множество R^+ положительных чисел с операциями x⊕y = x·y (x,y∈R^+) и λ⊗x = x^λ (λ∈R, x∈R^+) является векторным пространством над полем R, и найти его размерность.

Подпространства в векторном пространстве, примеры и конструкции подпространств: линейная оболочка множества векторов, пространство решений однородной системы линейных уравнений, пересечение подпространств. Объединение подпространств — вообще говоря, не подпространство. Сумма подпространств.

Подпространство конечномерного векторного пространства конечномерно, его размерность не превосходит размерности пространства и строго меньше для собственного подпространства. Базис пространства, согласованный с подпространством. Существование базиса конечномерного пространства, согласованного с парой подпространств, их суммой и пересечением. Формула Грассмана для размерности суммы двух подпространств. Нетривиальность пересечения двух подпространств, сумма размерностей которых больше размерности пространства.

Линейная независимость подпространств, прямая сумма подпространств, проекции вектора на прямые слагаемые. Примеры: разложение пространства геометрических векторов в прямую сумму плоскости и прямой, разложение конечномерного векторного пространства в прямую сумму координатных осей, разложение пространства квадратных матриц в прямую сумму подпространств симметрических и кососимметрических матриц. Размерность и базис прямой суммы подпространств.

Векторные пространства над конечным полем (35.10абв). Применения формулы Грассмана: 7-мерное подпространство пространства матриц размера 4×4 содержит ненулевую треугольную матрицу. Прямая сумма подпространств (35.18).

• 35.9, 35.10где, 35.19, 35.22.
• если матрица A размера n×n имеет ранг ≤n/2, то матричное уравнение AX=0 имеет решением ненулевую симметрическую матрицу X.

Линейные функции на векторном пространстве V: определение, примеры (след матрицы, вычисление значения функции в точке множества), запись в координатах на конечномерном пространстве (линейные формы). Сопряжённое (двойственное, дуальное) пространство V*, его размерность. Сопряжённый (двойственный, дуальный) базис пространства V*. Канонический изоморфизм пространств V и (V*)* в конечномерном случае. Двойственность между векторами и линейными функциями (ковекторами).

Аннулятор подмножества в векторном пространстве, его свойства. Размерность аннулятора, совпадение второго аннулятора подпространства с этим подпространством в конечномерном случае. Любое подпространство в конечномерном векторном пространстве задаётся однородной системой линейных уравнений (ОСЛУ). Критерий базисности набора линейных функций: задаваемая ими квадратная ОСЛУ имеет только нулевое решение. Интерполяционная формула Лагранжа как разложение многочлена по базису в терминах сопряжённого базиса.

Задание подпространства однородной системой линейных уравнений ⇔ нахождение аннулятора подпространства (35.16а). Ядро линейной функции (36.13).

• 35.16б, 36.9бв, 36.14, 36.17в.

Линейные отображения векторных пространств: определение, примеры (линейные функции, поворот плоскости, проекция пространства на плоскость, транспонирование матриц, дифференцирование функций). Матрица линейного отображения: определение, примеры (матрицы поворота плоскости и проекции пространства на плоскость), запись линейного отображения в координатах. Взаимно однозначное соответствие между линейными отображениями и матрицами (при выборе базисов). Преобразование матрицы линейного отображения при замене базисов. Операции над линейными отображениями и соответствующие операции над матрицами (сложение, умножение на скаляр, произведение).

Образ и ядро линейного отображения. Критерии инъективности/сюръективности/биективности линейного отображения в терминах ядра и образа. Размерность ядра и образа. Геометрическая структура линейного отображения: подпространство, дополнительное к ядру, изоморфно отображается на образ.

Нахождение базиса и системы линейных уравнений для суммы и пересечения подпространств.

• 35.15вг, 36.3, 36.8★.

Ранг линейного отображения. Новое доказательство теоремы о размерности пространства решений ОСЛУ.

Линейные операторы на векторном пространстве (пример: единичный оператор). Матрица линейного оператора, её преобразование при замене базиса. Алгебра линейных операторов, её изоморфизм с алгеброй квадратных матриц.

Определитель и след линейного оператора, их независимость от выбора базиса. Невырожденные линейные операторы, эквивалентные условия невырожденности.

Инвариантные подпространства для линейного оператора, вид матрицы оператора в базисе, согласованном с инвариантными подпространствами.

Собственные векторы и собственные значения линейного оператора. Характеристический многочлен. Наличие собственных векторов у линейного оператора в комплексном векторном пространстве. Собственные подпространства, их линейная независимость. Алгебраическая и геометрическая кратности собственного значения.

Нахождение базисов суммы и пересечения подпространств (35.15г). Нахождение матрицы линейного оператора (39.15в), её преобразование при замене базиса (39.20).

• 39,6, 39.15ел, 39.19, 39,23.

Диагонализуемые операторы, эквивалентные условия диагонализуемости. Операторы с простым спектром диагонализуемы.

Подстановка линейного оператора или матрицы в многочлен. Теорема Гамильтона–Кэли (для линейных операторов в конечномерном комплексном векторном пространстве). Существование инвариантного подпространства размерности ≤2 для линейного оператора в конечномерном вещественном векторном пространстве.

Корневые векторы линейного оператора (пример: собственные и корневые векторы оператора дифференцирования в пространстве функций на прямой), корневые подпространства.

Вычисление коэффициентов характеристического многочлена (40.10). Вычисление собственных значений и нахождение собственных векторов (40.15е). Диагонализумость линейных операторов (40.16а).

• 40.7, 40.9, 40.15бг, 40.16вг, 40.33★.