Это старая версия документа!

Список тем задач (1 поток, 2 курс, лектор: Тимашев Д.А., зима 2020):

1) Вычисление факторгрупп с помощью основной теоремы о гомоморфизмах. 2) Вычисление факторгруппы свободной абелевой группы по подгруппе, заданной системой порождающих (приведение целочисленной матрицы к нормальной форме). Определение порядка заданного элемента этой факторгруппы. 3) Нахождение количества элементов и подгрупп заданного порядка в конечной абелевой группе. 4) Описание орбит заданного действия группы на множестве, нахождение стабилизаторов заданных точек. 5) Вычисление централизатора элемента группы и описание его класса сопряжённости (или нахождение его мощности, в случае конечной группы). 6) Вычисление производного ряда группы, доказательство (не)разрешимости. 7) Доказательство непростоты, разрешимости, коммутативности конечной группы заданного порядка. 8) Описание одномерных представлений группы. 9) Существует ли конечная группа с заданными размерностями неприводимых представлений? 10) Определение свойств факторалгебр алгебры многочленов от одной переменной (изоморфны ли друг другу, имеют ли делители нуля, являются ли полями). 11) Вычисления в поле, получаемом присоединением корня неприводимого многочлена («избавление от иррациональности в знаменателе»). 12) Нахождение минимального многочлена алгебраического элемента в расширении поля.