Кафедра высшей алгебры

Клячко

Оставил в качестве упражнения с тремя звёздочками то, что подобие не зависит от расширения поля (случай конечного поля трудный, и только он остался). Билинейные функции: их матрицы, закон изменения, разложение в сумму симметрической и кососимметрической, тонкость с определением кососимметричности. Диагонализируемость симметричных. Над полем комплексных чисел единственный инвариант — это ранг. А для вещественных пока только сформулировали канонический вид.

Доказали, что у характеристического и минимального одинаковые корни. Аналог этого для неприводимых множителей оставил в качестве упражнения. И то, что это даёт критерий того, что пара многочленов является характеристическим и минимальным для подходящего оператора, тоже оставил в качестве упражнения. Как найти минимальный многочлен по ЖНФ. Как по минимальному многочлену понять диагонализируем ли оператор (поле произвольное). Всякая комплексная матрица подобна своей транспонированной. Упражнение: существует ли единая замена базиса, превращающая каждую матрицу в транспонированную? Из всякой невырожденной комплексной матрицы извлекается корень любой степени. Упражнение, которое рекомендуется разобрать на семинарах: из каких (вырожденных) комплексных матриц извлекается квадратный корень? (На языке ЖНФ ответ.) Комплексное подобие двух рациональных матриц влечёт их рациональное подобие. А для произвольного поля…. Начали обсуждать….

Единственность ЖНФ. Алгоритм нахождения ЖНФ. Минимальный многочлен. Он делит все аннулирующие. А корни у минимального такие же, как у характеристического (это не успели доказать).

Нильпотентные операторы. В конечномерном в.п. нильпотентность равносильна локальной нильпотентности. Оператор дифференцирования в кольце многочленов, как пример сами понимаете чего. Теорема о каноническом виде нильпотентного оператора. Теорема о ЖНФ (единственность пока не доказали).

Подобие операторов и матриц. Критерий диагонализируемости на языке алгебраических и геометрических кратностей. Пример, когда г.к. на сто миллионов меньше, чем а.к. Корневые (векторы и) подпространства. Прямота их суммы. Эта сумма равна всему пространству (в конечномерном случае), если характеристический многочлен раскладывается на линейные множители. Упражнение: верно ли наоборот? Инвариантные подпространства. Инвариантность корневых и собственных подпространств. Локально нильпотентные операторы (и невнятное объяснение, почему к ним общий случай часто сводится).

Корни характеристического многочлена, собственные векторы, собственные значения, собственные подпространства. Прямая сумма подпространств: определение и равносильность условию на пересечения. Сумма собственных подпространств прямая. Другими словами, собственные векторы с разными собственными значениями независимы. Критерий диагонализируемости на языке суммы собственных подпространств. Геометрическая и алгебраическая кратность собственного значения и неравенство, связывающее эти кратности.

Характеристический многочлен оператора, определитель и след оператора. Упражнение: что такое остальные коэффициенты характеристического многочлена. Вычисление характеристического многочлена в случае циклического модуля (но таких умных слов я не употреблял). Каждый многочлен с правильным старшим членом является характеристическим для некоторого оператора. Теорему Гамильтона–Кэли доказали. Упражнение с восклицательным знаком: почему совсем наивное «доказательство» не является доказательством. Обсудили, что без всяких Гамильтонов и Кэли понятно, что каждый оператор в конечномерном пространстве аннулируется каким-то ненулевым многочленом.

Доказали критерий того, что «канонический изоморфизм» является изоморфизмом. Упражнение с тремя звёздочками: пространство изоморфно сопряжённому тогда и только тогда, когда оно конечномерно. Линейные отображение: ядро и образ — подпространства, критерий инъективности, связь размерностей ядра и образа, матрица линейного отображения, изменение матрицы при замене базисов, ранг — это единственный инвариант. Линейные операторы: пока только определение и изменение матрицы при замене базиса.

Доказали критерий того, что подмножество является подпространством. Вспомнили, что всякое подпространство в арифметическом в.п. задаётся ОСЛУ. Сумма и пересечение — связь размерностей. Упражнение: для суммы трёх естественный аналог неверен. Упражнение: когда объединение двух (трёх) подпространств является подпространством. Линейные функции. Сопряжённое пространство. Изменение координат функционалов при изменении базиса. Когда «сопряжённый базис» является базисом? (И когда он л.н.?) Когда «канонический изоморфизм» является изоморфизмом? (Доказать не успели последнее.)

Векторные пространства: определение, примеры, следствия из аксиом (и доказали, что коммутативность сложения вытекает из остальных аксиом). Линейная зависимость, базис, размерность (и в бесконечномерном случае, но оставил в качестве упражнения со звёздочкой существование базиса и равномощность базисов (и то, и другое требует аксиому выбора)). Изоморфизм. Векторные пространства изоморфны тогда и только тогда, когда размерности совпадают. Всякое конечномерное в.п. изоморфно арифметическому. Поведение координат при замене базиса. Линейная классификация векторов. Упражнение: линейная классификация пар и троек векторов. Подпространства. Сформулировали, но не успели доказать, что подмножество в в.п. является подпространством тогда и только тогда, когда….