Кафедра высшей алгебры

Вы посетили: • лекции_3_курс_фммф_весна_2025


Различия

Показаны различия между двумя версиями страницы.

Ссылка на это сравнение

Предыдущая версия справа и слева Предыдущая версия
Следующая версия 		Предыдущая версия
лекции_1_курс_элитный_поток_весна_2025 [07.03.2025 11:52]
klyachko 		лекции_1_курс_элитный_поток_весна_2025 [18.04.2025 12:27] (текущий)
klyachko
Строка 1: Строка 1:
 ==== Весна 2025 года, мехмат, первый курс, поток 141-142, лекции по линейной алгебре и геометрии ==== ==== Весна 2025 года, мехмат, первый курс, поток 141-142, лекции по линейной алгебре и геометрии ====
 **[[http://halgebra.math.msu.su/staff/klyachko/|Клячко]]** **[[http://halgebra.math.msu.su/staff/klyachko/|Клячко]]**
 +
 +
 +== 18 апреля ==
 +
 +Додоказали теорему про единственность уравнения, задающего квадрику.
 +Упражнение: достаточно потребовать, что больше трёх элементов в поле
 +(а над полем комплексных чисел и условие про неплоскость можно убрать).
 +Аффинно-евклидовы пространства: метрика. Расстояние между плоскостями равно длине (любого) общего перпендикуляра.
 +Аффинное отображение является изометрией тогда и только тогда, когда дифференциал ортогонален
 +(доказали в одну сторону).
 +
 +== 14 апреля ==
 +
 +"Единственность" "канонического" вида аффинно-квадратичных функций (те моменты, которые не зависят от поля).
 +Ну и над полями комплексных и вещественных чисел настоящая единственность получается.
 +Характеризация плоскостей посредством прямых.
 +Теорема о единственности уравнения, задающего квадрику (над бесконечным полем) ---
 +сформулировали и начали доказывать: показали, что уравнение можно сделать без свободного члена и с ненулевой линейной частью при этом.  
 +
 +
 +== 11 апреля ==
 +
 +Почему сумма точек не определяется корректно: пример.
 +Барицентрические комбинации точек.
 +Упражнение: линейная комбинация точек с нулевой суммой коэффициентов корректно определяет вектор.
 +Аффинная оболочка. 
 +Связь между размерностями пересечения двух плоскостей и аффинной оболочки их объединения.
 +Аффинно-квадратичные функции:
 +поведение при замене репера,
 +"канонический" вид (без единственности пока, но над любым полем).
 +
 +
 +== 21, 24, 28 марта и 4, 7 апреля ==
 +<sup>(Из-за сбоя сервера содержание этих пяти лекций пришлось восстанавливать приблизительно по памяти.)</sup>
 +Объём параллелипипеда.
 +Канонический вид для ортогональнального и симметрического оператора.
 +Полярное разложение.
 +Приведение квадратичной формы к главным осям.
 +Одновременная диагонализируемость двух вещественных симметрических функций, 
 +одна из которых положительно определена
 +(и пример, показывающий, что условие положительной определённости нельзя отбросить).
 +Полуторалинейные функции, их матрицы, эрмитовость и косоэрмитовость (функций и матриц),
 +восстановление эрмитовой функции по $f(v,v)$.
 +Аналог теоремы Якоби и критерия Сильвестра.
 +Унитарные пространства.
 +Ортогонализация Грама-Шмидта. 
 +Сопряжённые операторы.
 +Эрмитовы, косоэрмитовы и унитарные операторы,
 +их матрицы и канонический вид.
 +Аффинные пространства.
 +Репер. Поведение координат при замене репера.
 +Аффинные преобразования и их матрицы.
 +Плоскости.
 +
 +
 +== 17 марта ==
 +
 +Когда работает метод Якоби?
 +Теорема Якоби.
 +Упражнение с двумя звёздочками:
 +индексы инерции однозначно восстанавливаются по последовательности главных миноров,
 +если в этой последовательности нет трёх нулей подряд
 +(а если есть, то уже не всегда).
 +Критерий Сильвестра.
 +Евклидовы пространства:
 +длина вектора, угол между векторами,
 +ортонормированный бвзис,
 +ортогонализация Грама--Шмидта,
 +разложения пространства в прямую сумму подпространства и его ортогонального дополнения.
 +
 +
 +
 +== 14 марта ==
 +
 +Положительно определённые формы.
 +Теорему про инвариантность индексов инерции доказали.
 +Пример, показывающий, что не всё так просто над полем рациональных чисел. 
 +Канонический вид кососимметрической функции (с единственностью).
 +Возвратились к симметрическим:
 +метод Лагранжа и метод Якоби
 +(про последний сформулировали, когда он работает, но не доказали пока).
 +
 +== 10 марта ==
 +
 +Оставил в качестве упражнения с тремя звёздочками то,
 +что подобие не зависит от расширения поля (случай конечного поля трудный,
 +и только он остался).
 +Билинейные функции: их матрицы, закон изменения,
 +разложение в сумму симметрической и кососимметрической,
 +тонкость с определением кососимметричности.
 +Диагонализируемость симметричных.
 +Над полем комплексных чисел единственный инвариант --- это ранг.
 +А для вещественных пока только сформулировали канонический вид.
 +  
 +
  
 == 7 марта == == 7 марта ==
Строка 6: Строка 101:
 Доказали, что у характеристического и минимального одинаковые корни. Доказали, что у характеристического и минимального одинаковые корни.
 Аналог этого для неприводимых множителей оставил в качестве упражнения. Аналог этого для неприводимых множителей оставил в качестве упражнения.
 +И то, что это 
 +даёт критерий того, что пара многочленов является характеристическим и минимальным для подходящего оператора,
 +тоже оставил в качестве упражнения. 
 Как найти минимальный многочлен по ЖНФ. Как найти минимальный многочлен по ЖНФ.
 Как по минимальному многочлену понять диагонализируем ли оператор Как по минимальному многочлену понять диагонализируем ли оператор
Строка 16: Строка 114:
 Комплексное подобие двух рациональных матриц влечёт их рациональное подобие.  Комплексное подобие двух рациональных матриц влечёт их рациональное подобие. 
 А для произвольного поля.... Начали обсуждать....  А для произвольного поля.... Начали обсуждать.... 
 +
 == 3 марта == == 3 марта ==