Кафедра высшей алгебры

Вы посетили: • лекции_3_курс_фммф_весна_2025


Различия

Показаны различия между двумя версиями страницы.

Ссылка на это сравнение

Предыдущая версия справа и слева Предыдущая версия
Следующая версия 		Предыдущая версия
лекции_1_курс_элитный_поток_весна_2025 [18.03.2025 12:50]
klyachko 		лекции_1_курс_элитный_поток_весна_2025 [18.04.2025 12:27] (текущий)
klyachko
Строка 1: Строка 1:
 ==== Весна 2025 года, мехмат, первый курс, поток 141-142, лекции по линейной алгебре и геометрии ==== ==== Весна 2025 года, мехмат, первый курс, поток 141-142, лекции по линейной алгебре и геометрии ====
 **[[http://halgebra.math.msu.su/staff/klyachko/|Клячко]]** **[[http://halgebra.math.msu.su/staff/klyachko/|Клячко]]**
 +
 +
 +== 18 апреля ==
 +
 +Додоказали теорему про единственность уравнения, задающего квадрику.
 +Упражнение: достаточно потребовать, что больше трёх элементов в поле
 +(а над полем комплексных чисел и условие про неплоскость можно убрать).
 +Аффинно-евклидовы пространства: метрика. Расстояние между плоскостями равно длине (любого) общего перпендикуляра.
 +Аффинное отображение является изометрией тогда и только тогда, когда дифференциал ортогонален
 +(доказали в одну сторону).
 +
 +== 14 апреля ==
 +
 +"Единственность" "канонического" вида аффинно-квадратичных функций (те моменты, которые не зависят от поля).
 +Ну и над полями комплексных и вещественных чисел настоящая единственность получается.
 +Характеризация плоскостей посредством прямых.
 +Теорема о единственности уравнения, задающего квадрику (над бесконечным полем) ---
 +сформулировали и начали доказывать: показали, что уравнение можно сделать без свободного члена и с ненулевой линейной частью при этом.  
 +
 +
 +== 11 апреля ==
 +
 +Почему сумма точек не определяется корректно: пример.
 +Барицентрические комбинации точек.
 +Упражнение: линейная комбинация точек с нулевой суммой коэффициентов корректно определяет вектор.
 +Аффинная оболочка. 
 +Связь между размерностями пересечения двух плоскостей и аффинной оболочки их объединения.
 +Аффинно-квадратичные функции:
 +поведение при замене репера,
 +"канонический" вид (без единственности пока, но над любым полем).
 +
 +
 +== 21, 24, 28 марта и 4, 7 апреля ==
 +<sup>(Из-за сбоя сервера содержание этих пяти лекций пришлось восстанавливать приблизительно по памяти.)</sup>
 +Объём параллелипипеда.
 +Канонический вид для ортогональнального и симметрического оператора.
 +Полярное разложение.
 +Приведение квадратичной формы к главным осям.
 +Одновременная диагонализируемость двух вещественных симметрических функций, 
 +одна из которых положительно определена
 +(и пример, показывающий, что условие положительной определённости нельзя отбросить).
 +Полуторалинейные функции, их матрицы, эрмитовость и косоэрмитовость (функций и матриц),
 +восстановление эрмитовой функции по $f(v,v)$.
 +Аналог теоремы Якоби и критерия Сильвестра.
 +Унитарные пространства.
 +Ортогонализация Грама-Шмидта. 
 +Сопряжённые операторы.
 +Эрмитовы, косоэрмитовы и унитарные операторы,
 +их матрицы и канонический вид.
 +Аффинные пространства.
 +Репер. Поведение координат при замене репера.
 +Аффинные преобразования и их матрицы.
 +Плоскости.
 +
  
 == 17 марта == == 17 марта ==
Строка 6: Строка 60:
 Когда работает метод Якоби? Когда работает метод Якоби?
 Теорема Якоби. Теорема Якоби.
 +Упражнение с двумя звёздочками:
 +индексы инерции однозначно восстанавливаются по последовательности главных миноров,
 +если в этой последовательности нет трёх нулей подряд
 +(а если есть, то уже не всегда).
 Критерий Сильвестра. Критерий Сильвестра.
 Евклидовы пространства: Евклидовы пространства: