| Предыдущая версия справа и слева
Предыдущая версия
Следующая версия
|
Предыдущая версия
|
лекции_1_курс_141_142_группы_осень_2026 [29.09.2026 07:20]
gordienko |
лекции_1_курс_141_142_группы_осень_2026 [13.10.2026 07:26] (текущий)
gordienko |
| Определитель матрицы. Определители матриц $1\times 1$, $2\times 2$, $3\times 3$. | Определитель матрицы. Определители матриц $1\times 1$, $2\times 2$, $3\times 3$. |
| Определитель верхнетреугольной матрицы. Полилинейные и кососимметричные отображения (эквивалентные определения кососимметричности). Свойства определителя матрицы: линейность, кососимметричность по строкам и столбцам, определитель транспонированной матрицы, определитель единичной матрицы. Поведение определителя при элементарных преобразованиях. Элементарные матрицы и их определители. Определитель и линейная зависимость. Аксиоматическое определение определителя. Определитель произведения матриц. | Определитель верхнетреугольной матрицы. Полилинейные и кососимметричные отображения (эквивалентные определения кососимметричности). Свойства определителя матрицы: линейность, кососимметричность по строкам и столбцам, определитель транспонированной матрицы, определитель единичной матрицы. Поведение определителя при элементарных преобразованиях. Элементарные матрицы и их определители. Определитель и линейная зависимость. Аксиоматическое определение определителя. Определитель произведения матриц. |
| | |
| | 8) ** 01.10.2026.** |
| | Невырожденные матрицы. Определитель с углом нулей. |
| | |
| | __Упражнение.__ Показать, что формула вычисления определителя $\det A \det D-\det B \det C$ в общем случае неверна для определителей блочных матриц |
| | $$\begin{pmatrix} A B \\ |
| | C D \end{pmatrix}$$ |
| | даже в случае квадратных блоков $A$, $B$, $C$, $D$ одинакового размера. |
| | |
| | Подматрицы. Миноры и алгебраические дополнения. Разложение определителя по строке и по столбцу. Определитель Вандермонда. Минорный ранг. Теорема о ранге матрицы (2-я часть). Окаймление миноров. |
| | |
| | __Упражнение.__ $(ab)^{-1} = b^{-1} a^{-1}$ для всех $a,b \in G$, где $G$ --- произвольная группа. |
| | |
| | Обратная матрица. Группы $\mathrm{GL}_n(\mathbb R) $ и $\mathrm{SL}_n(\mathbb R)$. |
| | |
| | 9) **05.10.2026.** __Упражнение:__ $(A^T)^{-1} = (A^{-1})^T$. |
| | |
| | Нахождение обратной матрицы при помощи элементарных преобразований. Фальшивое разложение определителя. Формула для элементов обратной матрицы. Правило Крамера. Отношение эквивалентности. Фактормножество. Смежные классы по подгруппе. Индекс подгруппы. Теорема Лагранжа. |
| | Группа вычетов по модулю $n$. |
| | |
| | 10) **12.10.2026.** Подгруппы, порождённые подмножествами. Циклические группы. Порядок элемента группы. Подгруппы циклических групп. |
| | |
| | __Упражнение:__ найти все порождающие в группах $\mathbb Z$ и $\mathbb Z_n$. |
| | |
| | Группы простого порядка циклические. Кольца. Ассоциативные, коммутативные кольца, кольца с единицей. Примеры. Кольцо вычетов по модулю $n$. Кольцо квадратных матриц над ассоциативным кольцом с $1$. |
| |
| (Продолжение следует.) | (Продолжение следует.) |
